Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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Teorema 4~ - Data una retta, per un punto
fuori di essa si puo sempre condurre un'altra retta
che faccia colla prima un angolo pih piccolo di un
angolo qualunque dato.
Siano A1B1 e P. la retta data ed il punto dato fuori di essa.
Da P4 conduciamo la retta P C perpendicolare alla A,B,, e da
un lato arbitrario di C prendiamo sulla AAB, un punto CV.
Tirando la PAC0 e prendendo, sempre dallo stesso lato di C, un
A4 d C, C ~ C3 C B
punto C2, in modo che sia C,C-C=,P,, abbiamo un triangolo
isoscele C1C2P4, quindi l'angolo esterno C,.PGC e la somma di
C2. CP-+ Pi. CiC,; ma uesti angoli sono uguali, dunque C2.P1C
e la meth dell'angolo C,. PIC. Analogamente possiamo prendere
CC20 C-2P, ed ottenere l'angolo C3. PC meta di C2.PiC, e
percio il quarto di C1.PC, e cosi di seguito. Ora arriveremo
certamente ad un punto Cm per il quale l'angolo Cm..PIC sarh
minore di un angolo dato qualunque (383, T. 1~).
Teorema 5~ - Ad una retta data, per un punto
dato fuori di essa, si puo condurre una sola retta
parallela.
Siano A1B., A2B2 due date rette, incontrate nei punti PPi
da una terza CD. Se la somma degli angoli P2.B1P1, P. B2P2
e due retti, A BV, A2B. non s'incon- A
trano (42, C. 2~), e rimane da dimo-
strare che qualunque altra retta A4 -
AB, condotta per P1 nel piano / B
P A1B1, incontra la ABi, e quindi A4 _
AB2 e2 la sola parallela che da P,,
si pub condurre ad AAB,. La AB viene divisa in due parti da