Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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definizione, nel caso di grandezze commensurabili, racchiude
quella gi. data.
Definizione.- Si dice misura di una grandezza, limite di due variabili
convergenti, commensurabili rispetto ad una stessa grandezza, unitd, il
numero limite delle misure delle due variabili.
Teorema. - Una grandezza data, rispetto ad una
data unita, ha sempre una misura, ed una sola.
Sia A la grandezza data, ed U la data unita. Se A ed U
sono commensurabili, e chiaro che A ha sempre una misura
rispetto ad U, ed una sola (478, T.). Supponiamo ora che A
ed U siano incommensurabili. Presa una grandezza nA > U,
cio che e sempre possibile, anche se A < U, tra le successive
grandezze multiple di U nessuna sara equivalente ad nA,
perche per ipotesi A ed U sono incommensurabili, e due consecutive mU, (mr -1) U comprenderanno nA, per cui avremo
na
mU < nA < (m -+ 1) U, ovvero -U < A < U. Essendo
w+-1 T / m 1 m _ 1
+ U- ( + U-) U - U e chiaro che, aun n \ n n ]
mentando n, la differenza delle variabili l U, - U decresce indefinitamente, e che gli stati successivamente decrescenti della prima e gli stati successivamente crescenti della
seconda si possono considerare come stati successivi di due
variabili convergenti V, W, che hanno per limite A. Ora V, W
sono evidentemente grandezze commensurabili con U, dunque
A, rispetto all'unita U, ha una misura, ed una sola (481, T. 2~).
Corollario. - Inversamente, data l'unith di misura U,
un numero qualunque I e misura di una grandezza A. Se I e
razionale, supponiamo I= la grandezza A=- U ha per
q) q
misura 1, rispetto all'unith U. Se 1 e irrazionale si pub sempre
considerare come limite di numeri razionali -,, il primo
fl n n'