Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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Problema 20 - Date due grandezze commensurabili, trovare la loro minima multipla comune.
Se le date grandezze commensurabili sono A, B, e se la
loro massima summultipla comune, che sappiamo sempre trot 1
vare (476, Pr. 1~), e C= -A -- B, abbiamo nA — mB = D,
e D 6 la minima multipla comune che si cerca. Infatti, presa
un' altra grandezza multipla comune D' -= 'A mn'B, si ha
1 1, A = - B= C', e C una summultipla comune minore
1n
della massima C, quindi - A > - A, ossia m < n'
(471, C. 5~), e percio mB < m'B, ossia D'> D.
472. I seguenti teoremi ci forniscono esempi importanti
di grandezze incommensurabili.
Teorema 10 - Due segmenti sono incommensurabili, se il quadrato di uno e equivalente al rettangolo dell'altro e della loro differenza.
Se un segmento AB e diviso da un suo punto D in modo
che sia AD2=AB.BD (362, C. 3~), i segmenti AB, AD sono
incommensurabili.
Se ABC e un triangolo isoscele, e se l'angolo A.BGC la
meth degli angoli B.CA, C.AB (114, Pr.), essendo AD2 AB.BD,
c
A D.F.
abbiamo AD = CD- BC (362, C. 3~), e BCD e pure un triangolo
isoscele che ha ciascuno dei due angoli uguali doppio del rimanente.