Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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Un angolo sferico 6 equivalente al rettangolo della sua sezione normale e del diametro della sua sfera (468, T. i~), quindi
due angoli sferici stanno fra loro come i rettangoli delle loro
sezioni normali e dei diametri delle loro sfere. Se i due angoli sferici sono compresi da diedri al centro uguali, i due
rettangoli sono simili, considerando come corrispondenti i lati
uguali ai diametri ed i lati equivalenti alle sezioni normali,
poiche in questo caso la ragione dei primi e uguale a quella
dei raggi e quindi a quella dei secondi (463, T. 2~). Ora sappiamo che due poligoni simili stanno fra loro come i quadrati
di due lati corrispondenti, dunque questi due rettangoli, e
percio i due angoli sferici, stanno fra loro come i quadrati dei
raggi.
Teorema 3~ - I solidi di due angoli sferici, compresi da diedri al centro uguali, stanno fra loro
come i cubi dei raggi.
II solido di un angolo sferico 6 i due terzi del parallelepipedo
della sua sezione normale e del quadrato del raggio (468, C. 2~),
quindi i solidi di due angoli sferici stanno fra loro come i
parallelepipedi dei quadrati dei raggi e delle sezioni normali.
Se i due angoli sferici sono compresi da diedri al centro uguali,
due parallelepipedi rettangoli equivalenti ai loro solidi sono
simili, considerando come corrispondenti gli spigoli uguali
ai raggi e gli spigoli uguali alle sezioni normali, poiche in
questo caso la loro ragione e pure uguale a quella dei raggi
(463, T. 2~). Ora sappiamo che due poliedri simili stanno fra
loro come i cubi di due lati corrispondenti (459, C. 2~), dunque
questi due parallelepipedi rettangoli, e percio i solidi dei due
angoli sferici, stanno fra loro come i cubi dei raggi.
Corollari. - 1 Due sfere stanno fra loro come i quadrati
dei raggi.
I solidi di due sfere stanno fra loro come i cubi dei raggi.
20 E costante la ragione di una sfera e del quadrato del
suo diametro, ed uguale alla ragione di un circolo e del suo
diametro.