Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

ACFE: A'C'F'E', da cui abbiamo che la somma delle grandezze
antecedenti, ossia il poliedro ABCDEF, sta alla somma delle
grandezze conseguenti, ossia al poliedro A'B'C'D'EF', come il
tetraedro ABCE sta al tetraedro simile A'B'C'E', ossia come AB
sta ad A BI.
Il teorema e dimostrato in generale, e ci da un metodo per
costruire la ragione dei due dati poliedri simili, che e piu
breve di quello trovato per due poliedri qualunque (445, Pr.).
Corollario 20 - I cubi AB3, A'B3 di due spigoli corrispondenti sono simili (456, C. 3~), quindi AB3: A'B3:: AB: AB1.
Dati due poliedri simili, il primo sta al secondo come il cubo
di uno spigolo qualunque del primo sta al cubo dello spigolo
corrispondente del secondo.
460. Teorema. - Le superficie di due poliedri
regolari, che hanno lo stesso numero di vertici,
stanno fra loro come i quadrati degli apotemi, o
dei raggi, ed i due poliedri stanno fra loro come
i cubi degli apotemi, o dei raggi.
Siano AB ed 0 uno spigolo ed il centro di un poliedro regolare dato, ed A'B', O' lo spigolo corrispondente ed il centro
di un altro poliedro regolare, che abbia lo stesso numero di
vertici del primo, e quindi sia simile ad esso. I segmenti OA,
OB ed O'A', O'B' sono raggi dei due poliedri, e le distanze OH,
A B
0
O'' dei centri da due facce corrispondenti, che passano per
AB ed A'B', sono due loro apotemi. Sono simili i tetraedri OHAB,
O'H'A'B', quindi la superficie del primo sta a quella del secondo
come AB2 sta ad AB'2, o come OA2 sta ad O'A'2, o come oH2
sta ad 'H'2, percib AB2 AB':: A: O'A2 A2: O 2:OH:-H'2;
ma le superficie dei due poliedri stanno fria loro come
AB2 sta A'B'2 (459, C. 1~), dunque le superficie dei po