Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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453. Teorema - Dato un triangolo rettangolo,
ogni poligono convesso, che ha l'ipotenusa per lato,
e equivalente alla somma dei poligoni simili, che
hanno i cateti per lati corrispondenti.
Supponiamo dato un triangolo rettangolo ABC, ed un poligono qualunque convesso BCDE, che abbia l'ipotenusa BC per
lato; se i poligoni ABFG, CAHK sono simili a BCDE, abbiamo
BCDE = ABFG + CAHK. Infatti, se AA' e l'altezza del triangolo
corrispondente all'ipotenusa, sappiamo che BA' e terzo proporzionale rispetto a BC ed AB (439, C. 2~), quindi (451, T. 20)
A
ABFG: BCDE:: BA': BC. Cosi pure, essendo A'C terzo proporzionale fra BC ed AC, abbiamo che CAHK: BCDE:: A'C: BC.
Ora, dalle proporzioni stabilite, si deduce che (433, C. 3o)
ABFG + CAHK: BCDE:: BA' + A'C: BC,
ma BA' + A'C _ BC, dunque BCDE = ABFG +- CAHK.
Abbiamo gia dimostrato (364, T.) questo teorema quando i tre
poligoni simili sono quadrati.
44a. Teorema. I perimetri di due poligoni
regolari, che hanno lo stesso numero di vertici,
stanno fra loro come gli apotemil, o i raggi, ed i
due poligoni stanno fra loro come i quadrati degli
apotemi, o dei raggi.
Siano AB, BC due lati consecutivi di un poligono regolare,
ed A'B', B'C' due lati consecutivi di un altro poligono regolare,
che abbia lo stesso numero di vertici del prime, e quindi sia
simile ad esso (446, C. 5~). Chiamiamo 0, O' i centri dei poligoni,