Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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Infatti, se a, b sono parallele ad r, e se P e un punto di b,
^ i piani Pr, Pa si tagliano secondo una retta
parallela ad r, a (42, C. 4~); ma per P si pub
p condurre la sola b parallela ad r, dunque b e
comune a Pr, Pa, e percib parallela anche ad a.
Se le tre rette a, b, r fossero in uno stesso piano,
basterebbe osservare che a, b non potrebbero
incontrarsi, altrimenti per il punto comune passerebbero due
rette a, b parallele ad r.
40 Date due rette parallele, ogni retta del loro piano, che
ne incontra una, incontra pure l'altra, poiche, se cosi non fosse,
dal punto comune a quelle che s'incontrano, si potrebbero
condurre due rette parallele all'altra.
5~ Date due parallele, ogni piano, che ne incontra una,
incontra anche l'altra; infatti la retta comune al piano dato
e a quello delle due parallele, incontrandone una, deve incontrare l'altra in un punto naturalmente comune ad essa e al
piano dato.
Teorema. - Un punto qualunque di un piano,
che scorre su se stesso strisciando lungo un asse, si
move sopra una retta ad esso parallela.
Se il piano 7T scorre su se stesso, strisciando lungo l'asse
A B, un punto qualunque PI, di Tr, si move
t B f sopra una retta AAB2 parallela ad AB,.
BIp_ ^- - Da PI tiriamo una retta CD, che incontri
r / I ABI in un punto P2. Se CD, dopo il movi-- mento di Tr, prende un'altra posizione C'D',
chiamando P', P/2 le nuove posizioni di
P, P,P, avremo PIP PI'P2'. Tiriamo le
rette PP ', PP'. Essendo parallele le CD, C'D' (41, T.), abbiamo
P.Pp'P2 P2'.PtPl' (45, C. 1~), e possiamo far coincidere questi
angoli, in modo che i lati PP,', PP, coincidano con i lati
P2'P,, P2'P', allora P' cadra PP in P ', P2 in P ', e
percio PP/' P2P,2 e P1.PI'P' -P2'.P1P,; dunque le rette
PiP1', AB1 sono parallele (42, C. 1~). Dovendo la retta, determinata da P2 e da una sua altra posizione P,', essere paral