Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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Prendiamo A', E', D' equimultiple di A, E, D, in modo che
sia A' > C, e fra le successive grandezze multiple di C e minori di A' prendiamo la maggiore C', avremo C' < A' <C' + C.
Ora, se B', F' sono equimultiple di B, F come Cr e multipla
di C, anche B' - B, F' + F sono equimultiple di B, F come
C' -+ C e multipla di C, e percio dalle due proporzioni supposte discendono le altre A': B':: E': F', B': C:: D': E e
A': B' -B:: E': F'+F, B'+-B: C'+ C:: D': E' (427. T. 1~, 20).
Dalle prime due, essendo A' > C', deduciamo cheD' > F', ed
essendo A' < C'+ C, dalle altre due deduciamo che D'< F'+ F
(432, T. 1~), dunque F' < D' < F' - F, e percio F e contenuta
in D' quante volte e contenuta in F'; ma C e contenuta in A'
quante volte e contenuta in C', e C', F' equimultiple di C, F
le contengono lo stesso numero di volte, dunque anche A',
D' contengono uno stesso numero di volte C, F, e percio
A: C:: D: F.
433. Corollarl. - 1~ Le proporzioniA:B::D:E, B:C::E:F
poste sotto la forma A: B:: D: E, C: B:: F: E, o sotto l'altra
B: A:: E: D, B: C:: E: F, hanno le stesse conseguenti, o le
stesse antecedenti, ed allora (431, T. 20) fra le loro antecedenti,
o conseguenti, sussiste la proporzione A: C:: D: F.
20 Le proporzioni A: B:: E: F, B: C:: D: E poste sotto
la forma A: B:: E: F, C: B:: E: D, o sotto laltra B:A::F:E,
B: C:: D: E, hanno le stesse medie, o le stesse estreme, ed
allora (432, T. 20) fra le loro estrere, o medie, sussiste la proporzione A: C:: D: F.
3~ Se A: B:: C: D, E: B:: F: D, G: B::H: D,...... dalle
prime due proporzioni, che hanno le stesse conseguenti, ne
deduciamo che A: E:: C: F, quindi, componendo,
E: A + E:: F: C + F,
proporzione che ha le stesse antecedenti della seconda, e q(uindi
combinata con essa ci da A -- E: B:: C + F: D. Introducendo
ora la terza proporzione, con considerazioni analoghe alle
precedenti, troviamo che A +- E -+- G: B:: C + F -- H1: D, e
cosi di seguito, dunque in generale
A + E +- G+......:B:: C + F+ H +.....: D.