Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

- 387
432. Teorema 1~- Dati due gruppi ciascuno
formato da tre grandezze omogenee, se la ragione
della prima e della seconda di ciascuno e uguale
alla ragione della seconda e della terza dell'altro,
quando in un gruppo la prima grandezza e maggiore, equivalente o minore, della terza, anche nell'altro gruppo la prima grandezza e maggiore, equi
valente o minore, della terza.
Date tre grandezze omogenee A, B, C, ed altre tre pure
omogenee D, E, F, se AB:: E: F, B: C:: D: E, quando
A C se ne deduce che D < F.
Supponendo A > C possiamo prendere A', C' equimultiple
di A, C e B' multipla di B in modo che sia A' > B' > C'.
Allora, se E', F' sono rispettivamente multiple di E, F come
A', B' sono multiple di A, B, avendo che A: B:: E: F ed essendo A'> B', ne deduciamo che E' > F', e se D' e multipla di
D come B' e multipla di B, essendo A', C' equimultiple di A, C
ed E', A' equimultiple di E, A, ne segue che E', C' sono equimultiple di E, C, ed avendo B: C":: D: E e B' > C, ne deduciamo che D'> E', per cui D'> F'; ma D',F' sono equimultiple
di D, F, perche multiple di D, F come B'e multipla di B, dunque
anche D > F. Analogamente, supposto A < C, si dimostra
che D < F. Se poi A =.C non puo essere D F, perche
sarebbe A S C, dunque deve essere D = F.
Teorema 2~ - Dati due gruppi ciascuno formato
da tre grandezze omogenee, se la ragione della
prima e della seconda di ciascuno e uguale alla ragione della seconda e della terza dell'altro, si deduce che la ragione della prima e della terza di uno
e uguale alla ragione della prima e della terza dell'altro.
Date tre grandezze omogenee A, B, C, ed altre tre pure
omogenee D, E, F, se A: B:: E: F, B: C:: D: E, se n deduce che A: C:: D:F.