Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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Supponiamo che le grandezze A, B, C,...... contengano uno
stesso numero di volte, per esempio due, rispettivamente le
grandezze A',B', C,.... Avremo 2A' ' A < 3A', 2B' < B < 3B',
2C' C < 3C....... quindi, se e S= A+ — B C +...,
S' A' + B' + C'+-..., sara 2S' = 2A + 2B' + 2C'......
(348, T.), e percio 2S' ' S, sara 3S' = 3A' + 3B' + 3C' +....,
e percio 3S' > S, dunque pure S conterra due volte S'.
Teorema 2~ - Se due grandezze contengono uno
stesso numero di volte altre due grandezze, contengono pure uno stesso numero di volte due loro
equimultiple.
Se A, B contengono uno stesso numero di volte rispettivamente C, D, la grandezza A si ottiene sommando un certo
numero di grandezze equivalenti a C ed una grandezza minore
di C, la grandezza B si ottiene sommando un ugual numero di
grandezze equivalenti a D ed una grandezza minore di D.
Ora due grandezze equimultiple di C, D si ottengono sommando
un ugual numero di grandezze equivalenti a C e a D, dunque
sono contenute uno stesso numero di volte in A, B.
Teorema 3~ - Si puo sempre fare in modo che
la somma di una grandezza costante e di una variabile, indefinitamente decrescente, contenga un'altra
grandezza data quante volte la contiene la grandezza costante.
Consideriamo una grandezza A + V, essendo A costante e
V variabile indefinitamente decrescente. Se, per esempio,
A contiene tre volte una grandezza B, o abbiamo 3B = A,
o 3B < A; nel primo caso A + V= 3B +- V, e, preso V<B,
allora anche A - Vcontiene B tre volte; nel secondo caso
A=3B + C, dove C < A, percio A + V- 3B + C + V, e,
preso V < B - C, si ha C + V < B, ed allora anche A + V
contiene B tre volte.