Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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4. Le parallele.
41. Ci rimangono da considerare le figure elementari le
quali hanno per elementi due rette di uno stesso piano, che
non s'incontrano, o due piani, che pure non s'incontrano.
Dimostriamone l'esistenza.
Teorema. - Per un punto, preso fuori di una
retta data, si puo sempre condurre un'altra retta,
che stia con essa in uno stesso piano e non la
incontri.
Sia A1Bi la retta data, e P1 sia il punto dato. Facciamo
scorrere su se stesso il piano P,A,B,,
c strisciando lungo un asse CD, condotto
A P-", ~ ad arbitrio per P1 e per un punto P2
- lJ t t A di A1B1 (P. IV, 20). Quando Pa sara
g -L — i giunto in P1, la retta A1B1 avra preso
una posizione A.2B, passante per P1 e
S situata nel piano P A1 B. Col movimento accennato, portiamo le parti di
retta P~A1, P2D sopra le parti P1A2, PPD, quindi sono uguali
gli angoli corrispondenti P,.A1D, P1.AAD, e percio sono anche
uguali gli angoli alterni esterni P1.AC, PB.B1D e P,.AjD,
P,.B2C (34, C. 1~). Posto cio, facciamo contemporaneamente
coincidere P2 con P1, e P1 con P2 (P. VI), lasciando il piano
PA1Bi nella sua posizione. Stante l'uguaglianza tra gli angoli
alterni esterni, evidentemente P2A,, P1A2- coincideranno con
P1B2, P2B1, e viceversa; quindi se A1B1, A2B. s'incontrassero
da un lato di CD, dovrebbero incontrarsi anche dall'altro, ma
allora avrebbero due punti comuni senza coincidere, cio che
e assurdo, dunque non possono incontrarsi.
Definizione. - Si dicono parallele due rette, che glacciono in uno
stesso piano e non s'incontrano.
Il teorema precedente puo anche enunciarsi dicendo: ad
una retta data, per un punto dato fuori di essa, si pub sempre
condurre una retta parallela.