Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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403. Teorema. - Esiste sempre un triangolo
equivalente alla superficie di un circolo dato.
Immaginiamo la superficie di un circolo c come limite di
due poligoni V, W, il primo sempre circoscritto ed il secondo
sempre inscritto, che varino con una legge assegnata(402,C.1~,2~).
Preso V= ABC, in modo che l'altezza di ABC corrispondente
alla base BC sia uguale al raggio di c, ossia all'apotema di V,
prendiamo sopra BC il punto C', in modo che sia W- ABC'.
Essendo V continuamente decrescente e W continuamente
crescente, e chiaro che BC e un segmento variabile continuamente decrescente, e BC' e un segmento variabile continuamente crescente; essendo V> W, avremo sempre BC > BC'.
A Ora la differenza V - W- ACC' decresce indefinitamente, percio deve decre// \\\ scere indefinitamente il segmento
CC' = BC - BC' (382, C. 1~),
c' c" j 1c dunque BC, BC' sono variabili convergenti.
Se BD e il loro limite (P. XI), abbiamo V > ABD > W, dunque
Uim. (V, W) = ABD, e la superficie del circolo c e pure equivalente ad ABD (386, D.). Ogni altro triangolo ottenuto mutando
la legge che fa variare V, W, purche sempre abbiano per
limite la superficie di c, e pure ad essa equivalente, come 6
ad essa equivalente ogni altro triangolo equivalente ad ABD
(387, C.).
Corollario. - 10 La base BC del triangolo ABC e uguale
al perimetro di V, perche l'altezza corrispondente e uguale
al suo apotema (358, C. o5). Essendo poi la distanza di ciascun
lato di W dal centro di c minore del raggio, si deduce che
BC' e minore del perimetro di W. Se prendiamo BC" uguale
a questo perimetro, in modo che C" stia sulla BC dalla stessa
parte di C rispetto a B, abbiamo BC" > BC' e BC" < BC
(137, T. 2~), percib BC- BC" < BC - BC', dunque CC" decresce indefinitamente, e gli stati successivi di BC insieme a
quelli successivamente crescenti di BC" si possono considerare
come stati di due segmenti variabili convergenti. Considerando
le coppie di variabili convergenti BC, BC'; BC, BC", ed osservando che sempre BC > BC", BC>BC', ne deduciamo (392, T. 1~)