Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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Consideriamo due poligoni regolari V, W, uno circoscritto
e l'altro inscritto ad uno stesso circolo c, col centro in C, e
che abbiano uno stesso numero di vertici. Raddoppiando successivamente questo numero, e chiaro che W e continuamente
crescente e che V e continuamente decrescente, mentre e
sempre V> W.
Ora supponiamo, per esempio, che V, W siano due triangoli
equilateri (325, Pr. 20); se AB e un lato di W, se AD,DB sono
le tangenti a c in A,B, e se H e il punto comune alle rette
CD, AB, abbiamo V - W= 3 ABD = 6 AHD. Chiamando G
il punto comune alla retta CD ed al- e
l'arco AB, e chiamando E, F i punti /
comuni alla retta che tocca c in G /
ed alle rette AD,BD, abbiamo due lati
AG,GB diun esagonoregolare inscritto, A '
ed un lato EF di uno circoscritto:
la differenza di questi due esagoni 6 '
evidentemente 6AGE. Sappiamo che
AE -EG; ma EG < ED (100, C.),
dunque AE < ED, e percio AGE < EGD, ossia AGE< - AHD.
Ora le differenze tra i poligoni regolari di 6 lati e tra i poligoni regolari di 3 lati, che abbiamo considerato, sappiamo che
sono equimultiple di AGE,AIHD, dunque la prima e minore
della meta della seconda. Analogamente si dimostra che la
differenza fra due poligoni regolari di 12 lati, uno inscritto e
l'altro circoscritto a c, e minore della meta della differenza
di due di 6 lati, e cosi di seguito. Cio basta per ritenere
che V- W decresce indefinitamente (383, C. 1~), quindi V, W
sono variabili convergenti. Adesso e evidente che la superficie
di c, essendo sempre compresa fra V, W,, e limite di V, W.
Corollari. - 1~ In ogni circolo si possono inscrivere e
circoscrivere poligoni regolari, dunque la superficie di ogni
circolo si pub considerare come limite di grandezze principali.
20 Possiamo concepire poligoni inscritti o circoscritti ad
uno stesso circolo, variabili con leggi diverse, ed anche non
regolari, i quali siano convergenti, e quindi abbiano il circolo
per limite.