Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

- 333 -per ogni stato della variabile crescente della seconda coppia si possono trovare stati maggiori della
variabile crescente della prima coppia.
Siano V, W e V', W' le due date coppie di variabili convergenti, e sia V> W, VF> W'. Se abbiamo sempre V> W',
per ogni stato V0 di V si possono trovare stati minori di V',
e per ogni stato WO' di 1T' si possono trovare stati maggiori di W. Infatti, essendo V continuamente decrescente,
possiamo trovare un suo stato V. < Vo, ed essendo per ipotesi
V> W', abbiamo V, > W'; ora se fosse sempre V'> VO,
avremmo V' - W' > Vo - V (346, C. 2~), quindi V1' r- W'
non decrescerebbe indefinitamente, contro l'ipotesi; dunque V'
non pub sempre essere maggiore di VO e, decrescendo continuamente, deve acquistare stati minori di V(. Analogamente
si dimostra che IW deve acquistare stati maggiori di W'O.
Ii teorema << Date due grandezze qualunque equivalenti, se
una e limite di due variabili convergenti, anche l'altra e limite
delle stesse variabili > (385, T. 1~), dimostrato attribuendo alla
parola equvalenti il primitivo senso ristretto, si puo ora dimostrare anche ritenendo che le due grandezze siano equivalenti perche limiti delle stesse variabili convergenti.
Teorema 2~ - Date due grandezze equivalenti,
limiti delle stesse variabili convergenti, se una e
limite di altre due variabili convergenti, l'altra e
limite delle stesse variabili.
Supponiamo L = L', perche sia lim. (V, W) = L,
lim. (V, W)- L', allora, se lim. (V1, W1) = L, e anche
lim. (V, W) = L'. Essendo sempre V, > L, L > W, si ha
sempre V, > W, quindi per uno stato qualunque di V, se
ne possono trovare minori di V (387, T. 1~); ma V> L', dunque
V, > L'. Essendo sempre V > L, L > W1, si ha sempre
V > WI, quindi per uno stato qualunque di W, se ne possono trovare maggiori di W (387, T. 1~); ma W1 < L', dunque
W, < L'. Avendo cosi dimostrato che V/ > L', L' > IW, ne
deduciamo che Uir. (' V, T1) = L'.