Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

- 313 -i punti comuni agli spigoli BB', BiB/' ed ai piani paralleli ad
ABGC, ABC condotti dalle rette EE', FF', si deduce pure facilmente che sono uguali i poliedri DD'EE'GB', FF'DD'BIH, ed i
tetraedri EE'BG, FF'HB'1; quindi ABC.AB'C' = AB1C.A'Bi'C'.
Se il primo segmento multiplo di A'D e maggiore di A'B' non
fosse A'D, la costruzione rimarrebbe essenzialmente la stessa,
solo varierebbe il numero delle parti rispettivamente uguali
in cui verrebbero divisi i due prismi triangolari; se AB' fosse
multiplo di A'D pure rimarrebbe la stessa costruzione, solamente non vi sarebbero piu i poliedri DD'EE'GB', FF'DD'B H,
ed i tetraedri EE'BG, FF'HB'; ma sempre si dedurrebbe
ABC.A'B'C' ABC. A'Bi'C'.
Analogamente si dimostrerebbe che in ogni caso
ABC. A'B'C'_ = ABCi. ATBIC,
dunque ABC. A'B'C' = ABiCi. A'Bj/C',
ed il teorema e dimostrato.
Corollario. - 1 Due prismi triangolari, che hanno uguali
le sezioni normali e gli spigoli laterali, sono equivalenti e si
possono sempre dividere in uno stesso numero di poliedri
rispettivamente uguali.
Teorema 2~ - Se due prismi qualunque hanno
le sezioni normali equivalenti, ed uguali gli spigoli
laterali, sono equivalenti.
Infatti, essendo per ipotesi equivalenti le sezioni normali dei
prismi dati, considerandone due, una per ciascun prisma, possiamo dividerle in uno stesso numero di triangoli rispettivamente uguali (359, C. 4~); dopo cio conducendo dai loro vertici
tanti segmenti cogli estremi sulle basi, e paralleli agli spigoli
laterali dei prismi, veniamo a dividerli in uno stesso numero
di prismi triangolari, i cui spigoli laterali sono uguali, e che
sono equivalenti, avendo uguali le sezioni normali (369, T. 10),
dunque sono equivalenti i prismi dati (337, C. 2~).
Corollari. - 20 Due prismi qualunque, che hanno equivalenti le sezioni normali e gli spigoli laterali uguali, sono equivalenti e si possono dividere in uno stesso numero di poliedri
rispettivamente uguali,