Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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Teorema 2~ - Dato un triangolo, il quadrato di
un lato, opposto ad un angolo acuto, e la differenza
della somma dei quadrati degli altri due lati e del
doppio del rettangolo di uno fra essi e della proiezione dell'altro sulla sua retta.
Sia dato il triangolo ABC, sia A.BC un angolo acuto, e sia
AD la proiezione del lato AB sulla retta AC. Pub darsi che
D sia un punto di CA, ovvero C un punto di DA; ma non pub
mai essere A un punto di CD, perche per ipotesi A.BC e un
angolo acuto. Nel primo caso abbiamo CD = AC - AD, nel
Bs secondo caso abbiamo CD = AD - AC,
/\ i__ cquindi sempre
/ \ A \C CD2A2 =- AD b2 - 2AC.AD (363, T. 20);
G s A D c Ama D2 +DB BC2 (364, T.),
dunque BC2 = A2 AD2 + DB2 - 2AC.AD.
Ora AD2 4- DB2= AB2 (364, T.), dunque
BC2 = AB2 + AC2 - 2AC.AD,
relazione che esprime il teorema enunciato.
Corollario. - Abbiamo veduto che se un angolo di un
triangolo e ottuso, retto o acuto, il quadrato del lato opposto
6 maggiore, uguale o minore, della somma dei quadrati degli
altri due lati, ne segue inversamente che se il quadrato di
un lato e maggiore, uguale o minore, della somma dei quadrati degli altri due, l'angolo opposto e ottuso, retto o acuto.
a66. Teorema 1~ - Sono equivalenti i rettangoli
di tutte le coppie di segmenti condotti ad un circolo
da un punto, fissato nel suo piano, e situati sopra
una stessa segante.
A c - Se nel piano di un circolo c
f,j> \ /P prendiamo un punto P, esterno
7j \ / o interno, e da esso conduciamo
Y\\<9 y \al circolo i segmenti PA, PB
Cs e PC, PD, situati sulle stesse
seganti AB, CD, abbiamo due triangoli PAC, PBD, i cui angoli