Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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332. Abbiamo gia veduto come si pub costruire un tetraedro regolare (191, Pr.), ed un cubo o esaedro regolare
(211, C. 5~), che abbiano gli spigoli uguali ad un segmento
dato.
Problema 1~ - Costruire un ottaedro regolare, che abbia
gli spigoli uguali ad un segmento dato.
Prendiamo un quadrato ABCD, i cui lati siano uguali al
segmento dato (325, C. 50), conduciamo la retta perpendicolare al suo piano nel suo centro 0, e su di essa prendiamo i
segmenti OE OF - OA: l'ottaedro ABCDEF e regolare. Infatti i triangoli rettangoli OAE, OAB sono uguali, avendo uguali
i cateti, quindi lo spigolo AE AB e uguale al segmento dato.
'F
Analogamente si dimostra che tutti gli altri spigoli sono uguali
allo stesso segmento, e per conseguenza si vede che tutte le
facce dell'ottaedro sono triangoli equilateri uguali. Considerando poi due piramidi come E.ABCD, F.ABCD, si vede subito
che sono uguali, e quindi che sono uguali tutti gli angoloidi
dell'ottaedro, il quale e certamente regolare.
Problema 2~ - Costruire un dodecaedro regolare, che
abbia gli spigoli uguali ad un segmento dato.
Costruiamo un pentagono regolare ABCDE, i cui lati siano
uguali al segmento dato (325, C. 5~). Essendo l'angolo A.BE
la quinta parte di sei retti, e chiaro che possiamo costruire
(170, Pr.) un triedro A.BFE, le cui facce siano tutte uguali
ad A.BE, e possiamo costruire un pentagono regolare AFH'LE.
I triedri A.BFE, E.ALD sono evidentemente uguali, perche
hanno uguali due facce ed il diedro compreso, quindi ne
deduciamo che A.FE E.LD, e percio vediamo che si pub
costruire il pentagono regolare ELG'KD. Analogamente vediamo
che si possono costruire gli altri pentagoni regolari DKF'HC,