Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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Teorema. - Se un quadrangolo convesso e circoscritto ad un circolo, la somma di due lati opposti
e uguale alla somma degli altri due, e viceversa.
Se il quadrangolo convesso DEFG e circoscritto al circolo c,
e se i suoi lati DE, EF, FG, GD lo toccano
nei punti H, K, L, M, abbiamo DH - DM, \
EK- EH, FL -FK, GM GL (232, C. 2o), -
dunque
-DH+HE+GL+-LF _DM+MG+EK+KF, <,
ossia DE + FG — EF + GD.
Viceversa supponiamo che sia dato il F
quadrangolo convesso DEFG, e che sia
DE + FG - EF + GD. Tre rette qualunque DE, DG, EF, del
quadrangolo, non possono essere tutte parallele, quindi esiste
sempre un circolo c che tocca i lati DE, DG, EF (237, T.);
ora sia FG' la rimanente tangente condotta da F a c, e sia G'
il punto in cui sega la retta DG. Avendo le due relazioni
DE + FG - EF + GD, DE + FG' - EF + G'D,
se G' fosse un punto del segmento DG, si dedurrebbe
FG - FG' GD - G'D GG',
e nel triangolo FGG' dovrebbe essere un lato uguale alla differenza degli altri due, cib che e assurdo (101, C. 20). Se G'
fosse fuori del segmento DG, si dedurrebbe
FG' — FG = G'D — GD = G'G,
e si cadrebbe nella stessa assurdita, dunque G' deve coincidere
con G; e in DEFG si puo inscrivere un circolo.
Corollario. - Affinche si possa inscrivere un circolo in
un parallelogrammo, e necessario e sufficiente che sia un
rombo; il centro del circolo, quello del rombo.
3?4. Definizione. - Diremno regolare ogni poligono convesso che
ha uguali tutti i lati e tutti gli angoli.
Un triangolo equilatero ed un quadrato sono poligoni regolari.
Teorema 1~ - Si puo sempre circoscrivere ed
inscrivere un circolo ad un dato poligono regolare.