Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

- 243 -Infatti il luogo cercato e quello dei punti equidistanti dai
due piani dati paralleli (127, C. 60).
Teorema 4~ - Vi sono infinite sfere che toccano
tre dati piani di un triedro; il luogo dei loro centri
e costituito da quattro rette che passano per il
punto comune ai tre piani dati.
Infatti, dato un triedro, il luogo cercato e quello dei punti
equidistanti dai suoi piani (172, T.).
E facile considerare il caso in cui dei piani dati due siano
paralleli. Se sono tutti paralleli, non vi e alcuna sfera che li
tocchi contemporaneamente.
z9o. Teorema. - Vi sono otto sfere che toccano
quattro piani dati, di un tetraedro.
Infatti, dato un tetraedro, vi sono otto punti equidistanti
dalle sue facce (189, T. 2~).
E facile considerare il caso in cui due dei quattro piani
sono paralleli, ed il caso in cui anche gli altri due sono
paralleli. Se piu di due sono paralleli fra loro, non vi sono
sfere che li tocchino tutti contemporaneamente.
Corollario.- Una delle otto sfere, che toccano i piani
di un tetraedro, si costruisce prendendo come centro il punto
comune ai piani bisettori degli angoli interni del tetraedro
(189, C. 2~), e come raggio la sua distanza da una faccia.
Questa sfera non ha punti esterni al tetraedro, mentre invece
le altre sette non hanno punti interni ad esso.
Definizioni. - ia Le otto sfere che toccano i piani di un tetraedro,
si dicono inscritte; quelle sette che hanno tutti i punti esterni rispetto
al tetraedro si distinguono dall'ottava chiamandole anche ex - inscritte.
2a Ogni tetraedro, che ha i piani tangenti ad una sfera, si dice ad
essa circoscritto.
294. - Analoghi teoremi, per le sfere che toccano rette
date, si possono dedurre facilmente da proprieta gia dimostrate,