Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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Corollari. - 1~ Ciascuno degli infiniti piani, che passano
per due punti dati, e quindi per la loro retta, B individuato
prendendone un altro punto arbitrariamente nello spazio, ma
fuori della retta fissata.
20 Ciascuno degli infiniti piani, che passano per un dato
punto, e individuato prendendone arbitrariamente nello spazio
due punti, che non siano in linea retta con
quello fisso, cioe prendendone una retta, che
non passi per il punto fisso.
II piano individuato dalla retta a e dal
punto A, dato fuori di essa, si pub indicare
con aA.
3~ Per due rette, che s'incontrano, passa un piano ed uno
solo. Se le rette a, b s'incontrano in C, e se
A e un punto di b e B un punto di a, il piano -7 I
ABC contiene a, b, e per queste rette non ve A
ne passa un altro, perche uno solo contiene
A, B, C.
I1 piano individuato da due rxtte a, b, che
s'incontrano, si pub indicare con ab.
a3. Teorema. - Se due piani hanno un punto comune, hanno comune una retta, che passa per esso.
Siano a, P due piani, e sia C un punto comune. Nel piano a
conduciamo per il punto C due rette rl, r; essendo ciascuna
divisa in C dal piano P, ciascuna contiene
punti situati in parti opposte rispetto ad '____
esso (P.V, 20), quindi possiamo prendere /
sulla r,, un punto E e sulla r, un punto F,
in modo che E, F siano uno nell'una e
l'altro nell'altra delle due parti in cui
divide lo spazio (P. III, 10). La retta EF F...
incontra P in un punto D (15, D. 2"), evi- /
dentemente comune ad a, 8, quindi la
retta CD appartiene ad ambidue i piani
dati, perche incontra ciascuno di essi in due punti C, D. Di
piu fuori di CD i piani a, P non possono avere altri punti
comuni, poiche, se cib non fosse, essi coinciderebbero, dunque
il teorema e dimostrato.