Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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Fra tutti gli archi di circoli massimi condotti, sopra la
sfera a, dal punto Q al circolo c, se Q non coincide con un
centro sferico di c, e non e uno dei suoi punti, ve ne sono due
QM, QN, e due soli, perpendicolari a c, perche un solo circolo
massimo PQ passa per Q e per il centro sferico P di c, situato,
rispetto ad esso, dallo stesso lato di Q. Dei due archi QM, QN
uno solo, QN, contiene il centro sferico P di c.
Quando non sarh detto esplicitamente, parlando di archi condotti sopra una sfera da un punto ad un circolo, intenderemo
sempre che il punto non appartenga al circolo e sia distinto
dai suoi centri sferici.
Teorema. - Sopra una sfera, fra gli archi di
circoli massimi condotti da un punto ad un circolo,
quello ad esso perpendicolare, e che contiene un
centro sferico, e maggiore di tutti gli altri; quello
ad esso perpendicolare, e che non contiene un centro
sferico, e minore di tutti gli altri.
Sia c un circolo della sfera a, sia P uno dei suoi centri
sferici e Q un punto di (, situato rispetto a c dalla stessa
parte di P. Se QM, QN sono gli archi di circolo massimo perpendicolari a c, e condotti ad esso da Q, se QN contiene il
polo P, e QA 6 un altro arco di circolo massimo condotto a c
da Q, abbiamo QA > QM, QA < QN. Infatti, chiamando Q'
la proiezione di Q fatta sul piano di c, i
triangoli rettangoli Q'QA, Q'QM hanno il ca/^ teto Q'Q comune; per gli altri due si ha
QrA > Q'M (227, T.), dunque QA > QM (107,
lT. 3o), e perci6 QA > QM. Di piu i triangoli
rettangoli Q'QA, Q'QN hanno comune il cateto Q'Q; per gli altri cateti si ha Q'A < Q'N,
iP' dunque QA < QN, e percib QA < QN.
Definizioni. - la Sopra una sfera, fra gli archi di circoli massimi,
condotti da un punto ad un circolo, il massimo e quello perpendicolare al
circolo e che contiene un centro sferico, il minimo e quello perpendicolare
al circolo e che non contiene un centro sferico.