Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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angoli opposti, il luogo dei loro vertici e formato
da due archi, che hanno per corda il lato comune.
Nel piano Tr sia AB il lato comune a tutti i triangoli, che
si considerano, e siano AOB, AO2B gli archi, di 7T, che hanno
AB per corda, e sono capaci di un angolo uguale a quello
opposto ad AB (253, Pr.), che e per ipotesi lo stesso per
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tutti i triangoli. E evidente che ogni punto D di uno AOQB
di questi archi appartiene al luogo, e che se C e il centro
del circolo c circoscritto ad ABD, a cui appartiene AO(B, quando
D.AB e acuto, D, C stanno da una stessa parte (252, C. 2~)
rispetto ad AB, e la somma degli angoli D.AB, A.BC e un
angolo retto, essendo un semicircolo la somma degli archi
compresi, quando D.AB e ottuso, D, C stanno in parti opposte
(252, C. 2~) rispetto ad AB, e la differenza degli angoli D.AB,
A. BC e un angolo retto, essendo un semicircolo la differenza
degli archi compresi. Di piui ogni punto E, di Tr, tale che sia
E. AB D. AB, e un punto di uno dei due archi AOGB, AO2B;
infatti, se E si trova dalla stessa parte di AOB rispetto ad AB,
e se c1 e il circolo circoscritto ad ABE e CG il suo centro,
essendo sempre C,C1 da uno stesso lato di AB, e un angolo retto
la somma o la differenza di E.AB, A.BCI e di D.AB, A.BC,
quindi sono uguali queste somme o differenze, e percio essendo
E.AB D.AB, abbiamo A.BC = A.BC e la retta AC1 deve coincidere con AC. Analogamente si dedurrebbe che BC1 deve
coincidere con BC, quindi C, cade in C, il circolo c, coincide
con c, ed E e un punto di AOGB. Se l'angolo D.AB e retto,
il teorema e evidente, perche il luogo dei vertici 6 formato
dal circolo, di iT, che ha AB per diametro (253, C.).