Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

- 165

Dato il prisma quadrangolare convesso A1,BCD,. A2B C2D,
se sono uguali i diedri opposti i cui spigoli sono le rette A,1B,
C2D2, e quelli opposti i cui spigoli sono le rette AAD1, C2B2, essendo il piano base AIBCD, parallelo all'altro piano base
A2,BC2D2, deve essere il piano A1B1B2A2 parallelo al piano
C2DiD2C2, e il piano A1DD2A2 parallelo al piano opposto BCC2B2,
quindi il prisma deve essere un parallelepipedo (206, T. 2~), ed
ogni altro diedro deve essere uguale al suo opposto (207, T. 1~).
Teorema 3~ - Dato un prisma quadrangolare
convesso, se un triedro e uguale all'opposto al vertice
dell'opposto, lo stesso avviene per ogni altro triedro,
ed il prisma e un parallelepipedo.
Se nel prisma quadrangolare convesso A BCDJ. A2B2C2 D
il triedro A1.B D1A2 e uguale all'opposto al vertice di C2.DB2CB,
i diedri di ciascuno devono essere uguali ai corrispondenti
dell'altro, devono cioe essere uguali i diedri opposti del prisma,
e il prisma deve essere un parallelepipedo (207, T. 2~), quindi
ogni altro triedro deve essere uguale all'opposto al vertice
dell'opposto (207, T. 1~).?os. Teorema 1~ - Le diagonali di un parallelepipedo s'incontrano in un punto, che le divide per
meta.
Consideriamo due qualunque, A1C2, A2CG, delle diagonali del
parallelepipedo A BICD1. A2B2C2D2. Essendo i segmenti A1A2,
C1C2 uguali e paralleli, ne segue che il quadrangolo A1A2C2C1
e un parallelogrammo, ed i segmenti A,
AIGC, A2G, essendo le sue diagonali,
si devono incontrare in un punto 0 / \
medio per ambedue (146, T. 1~). Resta \ \
cosi dimostrato che una diagonale \ A
qualunque deve essere incontrata nel
suo punto medio da un'altra diago- 2
nale qualunque, quindi tutte e quattro AACI, AC1, B D2, B1DI
devono passare per uno stesso punto 0, che le divide tutte per
meta.