Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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contiene;alcun giro e che 6 l'angolo, concavo o convesso, P.A'A",
che comprende PB, PC.
Nel piano iT, col centro in P, descriviamo un circolo c, di
raggio arbitrario, che incontri i lati PA', PB, PC, PA" nei
punti A', B, C, A", quindi da A', A" tiriamo le rette A'E,
A"F perpendicolari alle PB, PC nei punti H, K. Essendo
PH < PA', PK < PA" (100, C.), ne segue che H, K sono
interni a c, e le rette A'H, A"K incontrano certamente c in
altri due punti E, F (89, C. 40), in modo che A', E ed A", F
sono in parti opposte rispetto a PB, PC. I triangoli rettangoli
HPA', HPE hanno il cateto HP comune e l'ipotenusa uguale,
essendo PA', PE raggi di uno stesso circolo, dunque P.A'B = P.BE,
e percio, non essendo P.BC minore di P.A'B, ne segue che PE
e compreso nell'angolo P.BC. Analogamente si dimostra che
anche PF e compreso in P.BC. Ora avendo P.BC <P.A'BP.A"C,
si ha anche P.BC < P.BE + P.CF, quindi PF deve essere compreso in P.BE, e percio le rette PA', PF, PE, PA", ossia anche
i punti A', F, E, A" di c, si seguono nell'ordine scritto, e ne
deduciamo subito che A', E sono situati in parti opposte
rispetto alla retta A"F, mentre A", F sono situati in parti
opposte rispetto alla retta A'E, dunque i due segmenti A'E,
A"F si segano necessariamente in un punto D, interno a c,
essendo per esso PD < PA' PA" (122, T. 2~). Chiamiamno G
uno dei punti comuni a c ed alla retta di t perpendicolare a
PD in D, condotta la perpendicolare in D a Tr prendiamo su
di essa un punto A per cui sia AD _ DG. Le tre parti di rette
PA, PB, PC sono gli spigoli del triedro cercato; infatti i triangoli rettangoli PAD, PGD sono uguali, perche hanno il cateto
PD comune, e perche hanno uguali gli altri due cateti DA,
DG, quindi PA == PG = PA', di piu essendo PH perpendicolare
alle rette DH, DA, e perpendicolare al loro piano, e percio alla
sua retta AH, ne segue che i triangoli AHP, A'HP sono ambidue rettangoli ed uguali, avendo comune il cateto PH ed
essendo PA =PA', quindi P.A'B P.AB. Analogamente si
dimostra che P.A"C -P.AC, dunque il triedro P.ABC ha le
facce uguali ai tre angoli dati. Sulla perpendicolare a Tr in D
si pub sempre prendere DA - DG, ma in modo che A stia
dalla parte opposta rispetto a Tr, si ottiene cosl un altro
triedro, colle facee pure uguali agli angoli dati, perb disposte in