Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

- 128 -
15s. Teorema 1 - Ogni faccia di un triedro 6
minore della somma delle altre due.
Dato un triedro P.ABC, considerando una sua faccia qualunque P.BC, abbiamo sempre P.BC < P.CA + P.AB. EvidenteF mente il teorema e subito dimostrato se P.BC
e uguale o minore di una P.AB delle altre due
p facce, nel caso in cui sia maggiore di ciascuna
di esse, si puo dimostrare come segue. Supponendo P.BC > P.AB, possiamo dall'angolo P.BC
sottrarre il minore P.AB, sia P.CD la diffe-. *-, renza, per cui avremo P.BD P.AB. Sulle
PA, PD prendiamo due punti A, D, e per essi
conduciamo un piano, che seghi PB, PC nei
punti B, C. I triangoli APB, BPD hanno il lato PB comune,
i lati PA, PD uguali, quindi, essendo P.BD = P.AB, sono uguali,
percio AB - BD; ma AC > BC - AB (101, C. 2~), ossia AC > CD,
dunque i due triangoli CPD, CPA hanno il lato PC comune,
i lati PD, PA uguali, il lato AC > CD, e percio P.AC > P.CD
(107, T. 2~); dunque, essendo P.BC P.BD -- P.DC, si ha
P.BC < P.CA + P.AB.
Corollari. - 1 Possiamo enunciare il teorema precedente dicendo: afflnche tre angoli possano essere uguali alle
tre facce di un triedro, e necessario che ciascuno sia minore
della somma degli altri due, o piu semplicemente che quell'angolo il quale non r minore di nessuno degli altri due, sia
minore della loro somma.
20 Ciascuna faccia di un triedro e maggiore della differenza. delle altre due.
Essendo P.BC < P.CA + P.AB, se togliamo lo stesso angolo
P.AB, abbiamo P.CA > P.BC - PAB.
Teorema 2~ — In ogni triedro la somma delle
facce 6 minore di quattro retti.
Sia dato il triedro P.ABC e sia PE il prolungamento dello
spigolo PA. Nel triedro P.BCE abbiamo P.BC < P.CE + P.EB
(158, T. 10), quCindi P
P.BC + P.CA -+ P.AB < P.CE + P.CA + P.EB + P.AB,