Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

124 -fso. Teorema 1 ~- Le diagonali di un rettangolo
sono uguali, e viceversa ogni parallelogrammo che
ha le diagonali uguali e un rettangolo.
Dato il rettangolo ABCD abbiamo i due triangoli ABC, ABD,
che sono uguali perche hanno il lato AB comune, i lati AD,
BC uguali, e uguali gli angoli A.BD, B.AC, essendo -ambidue
A? retti, dunque AC- BD. Inversamente, se
I~. / supponiamo che ABCD sia un parallelo_~ /\. ~grammo, e che sia AC BD, i due trianD C goli ABC, ABD sono uguali, perche hanno
i lati uguali, quindi sono uguali gli angoli B.AC, A.BD, percio
ciascuno di essi e retto, ed il parallelogrammo ABCD e un
rettangolo.
Teorema 2~ - Le diagonali di un rombo sono
perpendicolari, e viceversa ogni parallelogrammo che
ha le diagonali perpendicolari e un rombo.
Infatti se ABCD e un rombo, e se 0 e il suo centro, i
A _ triangoli ABO, BCO sono uguali, essendo
AO - CO, AB BC, ed avendo comune il lato
BO, dunque O.AB O.BC e le diagonali AC, BD
e sono perpendicolari. Inversamente, se ABCD e
un parallelogrammo e se supponiamo O.AB O.BC, i triangoli
AOB, BOG hanno il lato comune BO, uguali i lati AO, CO ed
uguali gli angoli compresi, dunque sono uguali, e percio
AB = BC ed ABCD e un rombo.
Corollari. - 1~ Le diagonali di un rombo sono le bisettrici dei suoi angoli, e viceversa un parallelogrammo e un
rombo se le sue diagonali sono le bisettrici dei suoi angoli.
20 Un quadrato e insieme un rettangolo ed un rombo,
quindi le diagonali di un quadrato sono perpendicolari ed
uguali, viceversa un parallelogrammo e un quadrato, se le
sue diagonali sono uguali e perpendicolari.