Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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4. Risoluzione di alcuni problemi.
viS. Problema. - Costruire la retta che e parallela ad
una retta data, e che passa per un punto dato fuori di essa.
Sia AB, la retta data e P, il punto
dato: possiamo condurre per P1 una
A -^ - retta PP, che incontri A1B in P, e poi,.\ /.. nel piano determinato da P, e dalla A,B,,
A,- _- B- possiamo costruire la retta A2B2, che
* "; Ppassa per P,, in modo che gli angoli
alterni interni P2.AP,, PB.B2P2 siano
uguali (110, Pr.). La retta AB2 e quella che si voleva costruire
(42, C. 1~).
Corollario. - Risoluto il problema precedente, e facile
risolvere i seguenti: costruire una retta parallela ad un piano
dato, e che passi per un punto dato fuori di esso (47, T.): costruire il piano che e parallelo ad un piano dato, e che passa
per un punto dato fuori di esso (46, T.): costruire il piano
che passa per una retta data, ed e parallelo ad un' altra retta,
non situata con essa in uno stesso piano (47, C. 3~).
ii6. Problema. - In un piano, dato uno dei suoi punti,
costruire la retta che passa per esso ed e perpendicolare ad
una delle sue rette.
Ii piano dato sia Tr, e sia a la sua retta data. Il punto di TE
pub prendersi sulla a o fuori di essa: consideriamo separatamente i due casi.
Sopra a si prenda il punto D e due punti B, C equidistanti
da esso; poi costruiamo in iT il
A - A'. ' jtriangolo equilatero ABC (109,C.1~).
/:/ ', Essendo AB -AC, BD _ CD, ed
'/ \", AD lato comune, i due triangoli
^. C p - ABED, ACD sono uguali, quindi
D.AB - D.AC, ed abbiamo costruito
la retta AD, di Tr, perpendicolare
ad a nel suo punto D.
Se prendiamo in iT un punto A' fuori di a, e poi costruiamo,
sempre in Tr, una retta AD perpendicolare ad a in D, la retta
AD', che e parallela ad AD e passa per A', si pub costruire