Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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Se i triangoli dati non stanno in uno stesso piano, ii teorema
si dimostra immediatamente; infatti allora sono paralleli i
e piani ABC, A'B'C', e quindi sono........-... *::;:. parallele le rette BC, B'C', inter-.....,.;-..' sezioni col piano PBC (44, C. 40).
A\\ "/....:'\c::..'' Se i triangoli stanno in uno
stesso piano, sopra una retta,A'\\//t \ condotta per P possiamo prendere evidentemente due punti
_/ _y _~ ~Q, R in modo che Ie coppie di
A \ \ / c rette QA, RA'; QB, RB'; QC, RC'
si incontrino rispettivamente, in
punti che chiameremo, A., Bj,
C. La retta A1B, essendo comune ai piani QAB, RA'B', condotti per le rette AB, A'B', e
ad esse parallela (42, C. 40); analogamente si vede che la
retta AAC e parallela alle due rette AC, A'C'. Ora i triangoli
di ciascuna delle due coppie ABC, AB1C,; A'B'C', ABC. soddisfano le ipotesi espresse nell'enunciato del teorema, e non
sono situati in uno stesso piano, dunque BC, B'C' sono parallele a B1CG, e quindi sono parallele fra loro (45, C. 3~).
Problema. - Costruire un triangolo isoscele, che abbia
an lato uguale ad un segmento dato, e ciascuno dei due angoli
adiacenti doppio dell'angolo opposto.
Sia AB il segmento dato. Costruiamo il triangolo rettangolo
ABC, the abbia il cateto AB doppio dell'altro cateto AC (112, C.),
e sulla retta BC prendiamo il punto D in parte opposta di B
rispetto a C, in modo che sia CD CA. Un triangolo isoscele
BDE, tale che sia DB -DE, BE BA, sappiamo costruirlo
(109, Pr.), ed e quello cercato.
Se prendiamo sull'ipotenusa BC il punto F, in modo che sia
CF CD CA, risultano isosceli i triangoli ACF, ACDper cui.AC -A.CF, D.AC A.CD, quindi A.DF -F.AC + D.AC, ed
A.DF e la meth della somma degl angoli di ADF, ossia un
angolo retto. Si vede cosi che A.FB D.CA, perche ambidue
questi angoli sono complementi di A.CF (64, C. 4~). Posto cio,
se prendiamo sopra BD, BA i punti G, H, in modo che sia
BG _ BA BH B H BF, i triangoli ABF, GBH sono uguali (104, T.)
quindi G.HB D.AB, e le rette AD, GH sono parallele (42, C. Io)