Problèmes de géométrie élémentaire groupés d'après les méthodes à employer pour leur résolution, par Ivan Alexandroff. Traduit du russe, sur la sixiéme éd. par D. Aitoff.

86 PROBLEMES DE GEOMETRIE ELEMENTAIRE
triangles rectangles KXC et CXL ayant l'hypotenuse et un angle aigu
egaux chacun a chacun sont 6gaux, d'oui KC - CL. Nous en concluons
que NXK est une tangente au cercle C, tangent a son tour ai la droite
donnee BA.
Ainsi le probleme se reduit a ceci: prendre un point C sym6trique
au point M par rapport a la droite BA, decrire un cercle ayant C
comme centre et CL commne rayon, enfin tracer une tangente a ce
cercle passant par le point N.
Le probleme comporte deux solutions, attendu que lon peut mener
deux tangentes.
435. Etant donnes deux points M, N et une droite AM, trouver
sur cette derni6re un point X tel que la somme des droites MX
et NX soit minimum.
Soient M et N deux points situes d'un meme cot (le la droite AR.
Determinons un point N' symetrique du point N par rapport i la ldroite
AB et joignons M ia N1. Le point d'intersection X de cette droite avec
la droite AB est le point cherche, car les triangles NXB et N'XB etant
egaux, NX - N'X et par consequent MX + NX _ MX + XN' -- MN',
et, comme MN' est le plus court chemin entre M et N', la ligne bris(e
MXN est le plus court chemin en allant de M a N en touchant AB.
Ce probleme a, comme on sait, beaucoup d'applications en
physique et en mecanique. I1 peut s'dnoncer egalement ainsi: ( Etant
donnes une droite AB et deux points M et N situds d'un meme cote de
cette droite, trouver sur AB un point X tel que les angles MXA et NXB
soient gaux.,,
436. Etant donnes une droite AB et deux cercles 0 et 0, situes
d'un meme c6te de cette droite, trouver sur AB un point X tel
que les tangentes mendes de ce point aux cercles forment avec AB
deux angles dgaux (fig. 65).
I1 suffit de construire un cercle 02 symetrique au cercle 0 et de
mener une tangente commune intdrieure aux cercles 0 et 02. Le point
d'intersection de cette tangente avec AB est le point cherche. En effet
l'angle 02XL est egal a l'angle LXOI; d'autre part, de l'egalit6 des
triangles rectangles XO.2N et XON, qui out lhypot6nuse et un c6l1 (les
rayons) egaux chacun 'a chacun, nous avons - O02XNs --- OXN, d'oi,