Problèmes de géométrie élémentaire groupés d'après les méthodes à employer pour leur résolution, par Ivan Alexandroff. Traduit du russe, sur la sixiéme éd. par D. Aitoff.

PROPOSITIONS PRELIMINAIRES

11

adjacent a ce-t angle est egal a la moitid de l'hypotenuse (fig. 9\.
Menons BD telle que B
- ABD - 60";
- DBC est alors de 30~, et nous
avoinsAB =AD =BD etBD — I)C,;o
A D
d'oil AB - A C. F
2,Fi g. 9.
63. Tout triangle dans lequel le carrd d'un c6te est dgal a la
somme des carrds de deux autres cts est un triangle rectangle.
64. Dans tout triangle dont un angle est de 600 ou de 120~, on
a a = -b2 + c2 -be, ou a2 - b2 + c2 + be.
65. Les cordes communes a un cercle donnd et i tous les cercles
passant par deux points fixes vont concourir en un meme point
(fig. 10).
Soit 0 une circonference passant par les points A et B et tangente a
la circonference donnee 0 en un point K. Admettons que la tangente
commune aux deux circonfeA^^W- rences rencontre le prolongeIB 1O \f1 ment de la droite AB en un
\ pilpoint C et que le prolongement
d'une droite arbitraire CM ren\Y > ~ /-t / contre la circonf6rence 0 en L,
- ' \{ r 1 / ~ et la circonference ABMN en L.
En vertu du theoreme sur les
-L "* secantes, nous avons AC X CB
Fig. 10. = CI2, AC X CB = CL X CM
et CK2-CLX CM, d'ou CL- CL,,
ce qui ne peut avoir lieu que 1 orsque L et LI coincident avec le point
d'intersection N des circonfdrences 0 et ABMN.
66. Si les points A, B, D et E situds sur les lignes AC et DC,
qui se rencontrent au point C, satisfont a l'dgalite AC X BC
- DC X EC, ces points se trouvent sur une circonference (le
point C peut etre a l'intdrieur ou a l'extdrieur de la circonfdrence).