Problèmes de géométrie élémentaire groupés d'après les méthodes à employer pour leur résolution, par Ivan Alexandroff. Traduit du russe, sur la sixiéme éd. par D. Aitoff.

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PROBLEMES DE GEOMETRIE ELEMENTAIRE

AC mn
parallele a AC, telle que D _-, -, toutes les autres lignes dcu
DEll Cl n
triangle BDE sont dans le mmee rapport avec les lignes correspondantes du triangle BAC.
Prenons, par exemple, les medianes AP et l)DM (fig. 8). Dans les
triangles semblables ABC et 1DBE nous avons
A BC
AB BC AB 2 BP
D</ \ DB BE et, par consequent, DB - BE-
2
/ // \ \ Les triangles ABP et DBM, ayant un angle comL/ / \ \ C mun B compris entre deux c6tes proportionnels,
B MP E 'AP FB AC
Fig 8. sont semblables, d'oi D DB A= _ E C
DM DB DE n

60. Les medianes homologues de deux triangles semblables
partagent ces triangles en quatre triangles semblables deux a
deux (I, 59).
61. Les trois nmdianes d'un triangle se coupent en un meme
point, et les segments de chaque mediane sont entre eux dans le
rapport de 2 a 1.
Soit AD la m6diane issue du sommet A. Toute droite men6e du sommet B a un point de AC situe entre A et C rencontre AD entre A et D).
Soit BE la mediane issue du point B; elle rencontre AD en un cerlain point 0. Menons par C une parall6le a BE; elle rencontre le
prolongement de AD en un certain point F. Dans le triangle ACF, la
droite EO passe par le milieu de AC, et, de plus, elle est parallele a CF,
done le point 0 est le milieu de AF. D'autre part, les triangles BDO, CDF,
ayant un cote egal adjacent a deux angles egaux, chacun a chacun, sont
AO 2
egaux, et DO = DF. Nous avons done - =
DO 1
On demontre de meme que la m6diane issue du point C rencontre la
metdiane AD, entre A et D, en un point dont la distance au point D est
la moitid de AO, c'est-a-dire au point 0. Done les trois medianes sont
concourantes et decoupent l'une sur l'autre des segments dans le rapport de 2 ia 1.

62. Dans un triangle rectangle dont un angle est de 600, le c6ot