Problèmes de géométrie élémentaire groupés d'après les méthodes à employer pour leur résolution, par Ivan Alexandroff. Traduit du russe, sur la sixiéme éd. par D. Aitoff.

APPLICATION DE L ALGIBRE A LA GEOMETRIE 125
18. Sur une droite donnee AB, a droite du point B, trouver un
point M qui satisfasse a 1'6quation BM2 = AM. AB (fig. 91).
B M AM
Soil M le point cherche; nous avons done B- BM et la question
se r6duit a determiner la droite BM. Designons BM par x et AB par a;
x -qt-a
la formule ci-dessus peut done etre exprim6e ainsi: - d'ou
a x
2- ax — a2 -o et x -- - \/ -a2.
N/ ^^\
C Fi..
A PM' l B M
Fig. 91.
Pour faire la construction, menons AB egal a a; au point A elevons
une perpendiculaire aAB et, sur cette perpendiculaire, prenons AC a.
L'hypotenuse CB est egale ' /a2+ () * Prolongeons-la, et,du point
C comme centre et avec a comme rayon, decrivons une demi-circonference qui coupe BE aux points E et D. On voit que la racine positive
est BE. La longueur x etant determinee, il ne reste plus qu'a d6crire,
du point B comme centre et avec BE comme rayon, une circonference
qui coupe le prolongement de AB en M.
Si nous n'avions pas sp6cifie que le point M doive se trouver k droite
du point B, nous aurions pu utiliser la racine negative ( BD). Dans
ce cas, le point donne serait en P.
19. Trouver sur une longueur donn6e AB (fig. 92) un point M
tel que AM2 + MB2 -- h2, ou k est une autre lon gueur donnde CD.
Supposons le probleme resolu et designons AM par x et AB par a.
Nous avons: x2 + ( - a)2 - k2; d'ofi
a2- k2 2 a2 + 2k a
x2 - ax + - o et x- a' --- 2a 2 -— t
-- 2I o 2 2 It