Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Über die Mittelpunktseigenschaften der Kurven zweiten Grades. 91
der Kurve iiberhaupt vorhandenen Winkel- führen. Man muß also einen Punkt
größen zwischen Durchmesser und Tan- der Kurvenperipherie suchen, aus
gente auftreten müssen. Wenn also welchem ein beliebig ausgewählter
Durchmesser und Tangente in irgend Kurvendurchmesser unter rechtem
welchen Kurvelnpulnkten senkrecht sind, Winkel gesehen wird: dann hat
so muß jede verschiedene Konstruktion man die R i c htung en zweier
zu denselben Kurvenpunkten fihren, also s e n k r e ch te n k o nj u g i e r t e n
jedesmal dieselben Ax e n li e f e rn, Durchmesser.
vorausgesetzt bloß, daß nicht iiberhaupt
verschiedene Axenpaare vorhanden wären. 2) Nach bekannten planimetrischen Beziehungen am Kreise liegen
Figur. t aber alle Punkte, aus welchen ine
gegebene Strecke unter rechtem
Winkel gesehen wird, auf einem
' ~C u\ IHalbkreise über dieser Strecke als
H; ' - L DirDurchmesser (Fig. 39, 40). Konstru[- ---- 3\ iert man also über der Verbindungs-,t Z >ss ' \ — strecke der Schnittpunkte eines beliebigen Kurvenldurcihmessers einen
~\\ "'^ "~ ) Halbkreis, stellt dessen Schnittpunkt
'?~ --- I~_ 'mit der Kurve fest und verbindet
_\^ ---,^ ^/ ~ denselben mit den Endpunkten des.~ D / Durchmessers, so hat man ein der
_~_ -~ Kurve eingeschriebenes Rechteck. Die Mittelparallelen dieses
Erkl. 164. Sobald das Gebiet der Rechtecks sind zwei senkrechte
reinen projektivischen Geometrie ver- konjugierte Durchmnes ser: man
lassen wird, stellen sich maßgeometrische nennt sie die Axen der Kurve;
Betrachtungsweisen ein. So ist schon un da sie die Eigenschaften der
die Frage nach der Symmetrie der Kurven, konjugierten Durchmesser haben
insbesondere nach der axigen SyTmmetrie miissen, so wird die Ellipse von
mit senkrechtem Entsprechen gleich- beiden getroffen, die Hyperbel
gro1ßer Strecken und Winkel eine nu. von dem einen derselben.
metrische Auffassungsweise. Es kannu
daher nicht überraschen, daß hier behufs 3) Bei der Parabel erscheint
Auffindung der rechtwinkligen Axen auch anstelle der schiefen Sy etrie in
der Satz vom rechten Peripheriewinkel bezug auf einen Durchmesser und
des Kreises herangezogen wird, um die eine konjugierten dieselbe BezieAxen der Kurve zu finden. In FiguDr 39 in inbezurchist bei der Ellipse und in Figur 40 bei esser unl ie Rictung der Tander Hyperbel der Durchmesser iHJ be- ente in seinem Kurvenschnittpunkt.
gente in seineim Kurvenschnittpunkt.
liebig angenommen bezw. als beliebiger Da nun bei der Parabel alle DurchDurchmesser aufgesucht. Der Halbkreis parallel sin, so tritt be
roesser parallel sind, so tritt bei
über HJ trifft die Kurve noh in Karabel die eigentliche axige,
aer Parabel dile eigentliclhe axige,
einerseits HJ bezw. in L andererseits senkrechte Symmetrie zu
d. h. die senkrechte Symmetrie zu
H J, folgliclh sinid HIKJ bezw. HLJ
H folglich sind KJ bezw. HLJ demjenigen der vielen Durchmesser
rechte Winkel, und daher sind die zu als Axe ein, welcher die zur RichHL bezw. LJ parallelen Durchmesser Durchmesser s
tzung aller DJurchmesser s enkAB und CD senkrechte konjugierte rechte Parabeltangente im BerühDurchmesser. rungspunkte trifft. (Vgl. Fig. 32.)
Erkl. 165. Daß dieselben beiden Ein solcher Kurvenpunkt, in welsenkrechten konjugierten Durchmesser chem Durchmesser und Tangente