Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

lber die Mittelplunktseigenischaften der Kurven zweiten Grades. 89
Erkl. 159. In den Antworten 19, 21, 23, 24 des II. Teiles dieses Lehrbulles sind eine leihe von Ma1ßbeziehungen aufgestellt, welche fir je vier harmnonische Strahlen gelten. 5Man kann daher alle jene Ableitungen in Anwendung
bringen für die Beziehung zwischen den Asymptoten und jeglichemn Paare konjugierter Durchmesser der Hypperbel. Dabei kommen besonders die Formeln in Betlracht, welche für die H a 1 b i e r l g -
strahlen des Winkels der Asymptoten Fig. 38.
gelten, weil diesen Geraden, wie sich in
der Folge zeigen wird, eine besonders B 7
wichtige Bedeutung fiür die Kurve zu-
kommt. \
Erkl. 160. In Fig. 38 ist p q (bezw. \
p' q') ein Paar klonjlgierter Durchmesser, \
also p Polare des mnendlich fernen Punkltes
P auf q, lind q Polare des unendlich \,
fernen Punktes Q auf p; p halbiert (ini\
01) die zu q parallele Sekante A B1 O,/
und geht dunch den BerliilrungsIpnkt 0; P- /
der zu cl parallelen Tangente CG ID); q / \
halbiert in 0., die zul p parallele Seklante \
As B2. Da pq xy vier harmonische (e- /
raden sind, so slcneiden sie 1auch als Scllnitt- \
punkte vier harmonische Punkte aus: näm- \
lieli auf AB 1 die vier Punkte C LDO 0, \\ ö
auf A1 B3., die vier Punkte C0 D.) 0 Qco, >
anlf der Trallgente C3 D), die vier Punkte
C3 I)3 03 PC). Unter diesen vier Punkten \\
ist aber immer einer une ndlli ch fern,
folglich ist diesem zugeordnet der Mittelplunkt der beiden anderen, d. h. 01 C1
= 1 Di, 0- C,0 =Os ) 0 3C,3 -03 O D. Und diese Überlegung gilt vollständig
gleichartig, ob die Sekante nur den eineln Kurvenast trifft oder beide Kurvenäste. Im ersten Falle liegt der Sehnenmittelpumnkt im Innenwinkel der Asymptoten
und innerhalb der Kurve, im zweiten Falle liegt der Sehnenmittelpunkt im Aunßenwinkel der Asynmptoten und auißerhalb der Kurve. 'Fiir Tanglenten ist nur der
erstere Fall moöglich, da bei ihnen Berüihrungspunkt und Mittelpunkt zusammenfallen inmul, also C, O 03, C1 O4 = D1 l.
Erkl. 161. Denkt man sich in Figur 38 nicht zuerst p ullnd q gezogen,
sondern beginnt mit der Sekante A B, so ist sicher der duich ilhren Mittelpunkt 0
gehende Durehmesser derjenige, dessen konjulgierlter zu.A B parallel werden, also
AB im Unendlicheni treffen lmuß. Aus solcher Uberlegung findet man ohne Zeichnung
des konjugierten Durchmessers, daß 0 nicht nur Mittelpunkt von A und B, sondern
aucll on 0 und D sein muss. - Ist dies festgestellt, so kann das Ergebnis des
vierten Teils obenstelender Alntwort auelh dirceh Additions- bezw. SubtraktionsRechnung iinmittelbar dargestellt werden wie folgt:
001 Cl 01D 00 C - 01 D1
01 A, 01 3,b 0 O1 B - O A,
01 C -- OAi OiDI 01 B D-0 0 C3 + O3 i B -) 01i + A
Al 1 = B1 D Bi Ci Al D