Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

66 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
Geraden auf der gegebenen Kurve beiden Punkte die gegebene Kurve
liegt, bezw. berührt, bezw..... umhüllen eine Kurve..... erfüllen eine Kurve
zweiter Klasse, wenn der.Schnitt- zweiter Ordnung, wenn die Verpunkt der beiden Geraden nicht bindungsgerade der beiden Punkte
ein Kurvenpunkt der gegebenen nicht Kurventangente der geKurve ist. gebenen Kurve ist.
Erkl. 120. Die in den frilleren Erklärungen 118, 119 formulierten Sätze lassen sich
ausnützen als weitere Beweise fiir die in Satz 8a aufgestellten Behauptungen an der
Figur 24, woseibst die Sekante XY die Kurve schneidet, bezw. der Punkt P=S
außerhalb der Kurve liegt. Dagegen sind dieselben nicht anwendbar auf die Lage
der Elemente in Fig. 25, wo die Verbindungsgerade p die Kurve nicht trifft bezw.
Punkt P innerhalb der Kurve liegt. Schon in Erkl. 65 war vorläufig für die zugeordneten Elemente der Name konjugierter Punkte bezw. konj ugierter
Strahlen angeführt worden. Die Art und Weise dieser Lagebeziehung besteht aber
nicht nur fiir die Lage der Elemente an Fig. 24, sondern auch an Fig. 25, und
sie ist so besonderer und wichtiger Art, daß1 ihrer Untersuchung ein besonderes
Kapitel (Abschnitt 3 dieses Bandes) gewidmet wird.
Erkl. 121. Die projektivischen Gebilde in vereinigter Lage, welche im ersten
Teile der obenstehenden Antwort aufgeführt sind, erzeugen keine neuen Gebilde.
woll aber jene getrennten projektivischen Gebilde, welche im folgenden auftreten,
Bemerkenswert bleiben dabei die gemeinschaftlichen Elemente der beiden projektivisch verwandten Gebilde. Denn wenn diese selbstentsprechend sind, so bebefinden sich die Gebilde in perspektivischer Lage, und das Erzeugnis ist keine allgemeine Kurve zweiten Grades, sondern zerfallt in Gebilde erster Stufe. Daher
muß ausdrücklich die Unterscheidung getroffen werden, welche im Satz 11 zur
Zweiteilung des Satzes fihrt.
Erkl. 122. Es ist nicht schwer, die nach den Sätzen 11 und 1 a erzeugten
Gebilde durch Festlegung einzelner Elemente näher zu bestimmen. Liegt der Schnittpunkt der beiden Geraden in Satz 11 auf der Kurve, so liefern die beiden Geraden zwei weitere Kurvenselnittpunkte und der Pol ihrer Sehne ist der erzeugte
Punkt. Berührt die Verbindungsgerade der beiden Punkte in Satz l1a die Kurve,
so liefern die beiden Scheitel zwei weitere Kurventangenten, und die Polare ihres
Schnittpunktes ist die erzeugte Gerade.
Erkl. 123. Ebenso können einzelne Elemente der nach Satz 11 erzeugten Kurven
festgelegt werden. Denn die Träger der beiden Punktreihen sind jedenfalls Tangente n der Kurve, und die Berührulngspunkte auf ihnen werden ausgeschnitten als
Schnittpunkte der beiden Geraden mit der Polare des Trägerschnittpunktes, welche
selbst stets Berührungssehne der erzeugten Kurve ist. Auf gleiche Weise ergeben
sich als Elemente der nach Satz 11a erzeugten Kurve zunächst die Scheitelpunkte
der beiden Strahlenbüischel als Kurvenpunkte, und die Tangenten in ihnen entstehen
als Verbindungsgeraden der Büischelseheitel nach dem Pol des Verbindungsstrahls
beider Scheitel, welcher selbst stets Tangentensclhnittpunkt der erzeugten Kurve ist,
also stets außerhalb der Kurve liegt.