Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Das Polardreieck. 59
mußten schon dort die Schnittpunkte der zwar erzeugt durch das TangentenVerbinlduingsgeraden ihrer Kurvenpunkte vierseit xyuv der Tangenten aus
auf p als der Polaren von P liegen, nämi- Q und R bezw. durch das Sehnenlieh der Schnittpunkt von XU und YV viereck XYUV der Berührungsund der von XV und YU. Denkt man punklte dieser Tangenten bezw.
nun in Figur 21 einen der vier Kurven- der FtKurvenpunkte auf den Sekanten
punkte mit einem der Punkte Ei oder F q und r. Die ganze Figur ist also
verbunden, z. B. EV, und bezeichnet den die verdoppelte Figur 20, namlich:
zweiten Kurvenpunkt von EV füir den Zwei umgeschriebene Vierseite
Augenblick mit Y', so ist jedenfalls Y' AB CD und xyuv mit gemeinder vierte harmonische Punkt zu E, V, sanier Nebenseite p und deren
und dem Schnittpunkte von EV mait der Polpunkt P - und:
Polaren e zu E. Da aber in Figur 21 Zwei eingesehriebene Vierecke
PE, PF, PQ, PR vier harmonische Ge- 'abcdl und XYUV mit gemeinraden sind (und das waren dieselben Ge- samer Nebenecke P und deren
raden in Figur 20 nicht, da e nicht mit Polare p.
PF zusammenfiel) so wird derselbe
vierte harmonische Punkt Y' auf EV auch ausgeschnitten durch den vierten harmonischen Strahl r zu PE, PF und PV. Demnach geht die Kurve und die Gerade
r durch denselben Punkt der Geraden EV, d. h. die Gerade EV muß hindurchgehen durch den Schnittpunkt von r mit der Kurve, also durch den Punkt Y, d. h.
Y' und Y sind identisch. Daher geht umgekehrt die Gerade VY durch Punkt E;
und da VY und XU einander auf p schneiden mtissen, so geht aueh XU durch E.
Nun werden r und q Diagonalen des Vierecks XYUV, also missen XV und YU beide
durch den vierten harmonischen Punkt zu EQR gehen, nämlich durch F.
Erkl. 111. Da nach voriger Erklärung 110 die Sekante VY durch E geht,
so muß der Pol von VY auf der Polaren zu E, also auf e liegen. Dieser Pol zu
VY wird aber gebildet durch die Schnittpunkte der Tangenten in V und Y, v und y.
Daher müssen nun auch in Figur 21 (was in Figur 20 ebenfalls nicht der Fall
war) die Schnittpunkte der Tangentenpaare vy und ebenso ux auf e, die Schnittpunkte der Tangentenpaare vx und uy auf f liegen. Und somit ist bewiesen, daß
die Geraden e uuf f zusammen mit p für das eingesehriebene Viereck XYUV
bezw. für das umgeschriebene Vierseit xyuv dieselbe Bedeutung haben, wie die
Geraden q und r mit p fir das eingeschriebene Viereck abed bezw. das umgeschriebene Vierseit ABCD. Beide eingeschriebenen Vierecke haben die Gerade p
als Gerade des Paskal, beide umgeschriebenen Vierseite haben den Punkt P als Punkt
des Brianchon - nur jeweils mit vertauschter Bedeutung der Punkte RQ bezw.
EF auf p und der Geraden rq bezw. ef durch P.
Erkl. 112. Um die Analogie der Polardreiecke PEF und PQR vollzumachen,
wären noch fiir PEF diejenigen Verbindungsgeraden hinzuzunehmen, welche den
dilnnen Linien in Figur 21 entsprechen, nämlich die Verbindungsgeraden von E, F
nach den Schnittpunkten des Tangentenvierseits xyuv, wie in Figur 20 die Verbindunglsgeraden von Q, R nach den Eckpunkten AB CD. Wie dort die Schnittpunkte
auf PE und PF liegen müssen, so jetzt auf PQ und PR. Und sonach gehen nun
in Figur 21 durch EFQR je acht Gerade, nämlich:
durch E durch F durch Q durch R
1./2. Die zwei Seiten des Polardreiecks: p, f p, e p, r p, q
3./4. die beiden Kurventangenten als Seiten
des umgeschriebenen Vierseits: AB, CD B C AD u, v x, y