Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

46 Projektivische (neuere) Geometrie. 111. Teil.
sprechenden Geraden liegen, der ausgewählte erschienen. Es bildet
andere mit der Gleichung sAikUiUk - o also das allgemeine Dualitätsprinzip
als Umhliilllungskurve dieser Geraden, gewissermaßen nur eine abstrakte
welche.durch ihre entsprechenden Gegenüberstellung der ungleichP un k t e g e 1h e n. Erst wenn die acht unab- artigen Elemente und keine gesetzhäingigen Koeffizienten auf fünf reduziert mäßige Verwandtschaft oder Abwerden dmuch Gleichsetzung der aik = aki, bildung aller Elemente der Ebene
dann fallen die beiden genannten Kurven aufeinander, während die Polarrezizu einer ein z i gen K e r k u r v e zu- prozi tät eine konkrete Zuordnung
sammen, und die vorher allgemeine g a n z b e s t i m m t e r E 1 e e n t edualistische Verwandtschaft wird spezi- p a a r e darstellt. Wollte man
a 1 i s i e r t zu einer P o 1 a r r e z i p o z i t ä t, aber schon durch das allgemeine
welche jene Doppelkurve als Funida- Dualitätsprinzip eine derartige
m entalkegelschnitt hat. Die völlig engere Zuordnung festlegen, sc
ungeregelte allgemeinste Dualität er- muß man dasselbe seiner Willkürscheint also begreiflicherweise auch ana- lichkeit entkleiden und die Auslytisch ohne Formunlierung, die erste wahl der zuzuordnenden El emente
schärfere Festlegung liefert analytisch e ner gewissen Gesetzmiäßigkeit
(infolge Gleichheit der Doppelverihältnisse) unterwerfen.
wie geometrisch allgemein p r o j e k -
tivisch verwandte Gebilde, und 3) Solange man nur nach dem
erst die zweite Einschränkiung erzeugt allgemeinen Dualitätsprinzip beanalytisch wie geometrisch die polare liebige Punkte und Gerade willVerwandtschaft, bei welcher auch kürlich gegenüberstellt, wird auch
die projektivische Beziehung die Be- nicht darauf besondere Rücksicht
sonderheiten der Figuren 12 bis 15 genolmmen, daß beide Figuren deraufweist. selben Ebene angehören, d. h. es
Eril. 86. Wenn zw e i b e 1 i e b i g e weden nicht die Elemente der
Fig uren dualistisch aufgebaut werden, einen i Fig u r zugleich als der
z. B. ein Fiünfeck aus fünf Ecken AB CDE a n d e r n F i g u r zugehörige Eleund ein Fünfseit aus finf beliebigen mente aufgefaßt und umgekehrt.
Strahlen abcde (vgl. Figur 42 und 43 Bei der Polarreziprozität dagegen
des I. Teiles), so gehen vor Punkte A ist jedes Element doppelt aufzuvier Strahlen nach B CD E, und auf Ge- fassen, nämlich als Element der
rade a entstehen vier Sehnittpunkte iit einen Figur und auch wieder als
bcde. Während nun aber drei jener Elemeent der polar zugeordneten
Verbindungsgeraden AB, AC, AD jeden- Figur. Es wird daher im allgefalls als projektivisch angtesehen werden meinen Falle auch unbeachtet
ka)aiinel zu den drei Schnittpunkten ab, ac, bleiben oder nur als Zufall era, so ist in allgemeinen Falle gewiß nicht scheinen, wenn einmal die einem,lch der vierte Schnittpunkt ae in solche beliebigen Punkte zugeordnete GeLage gekommen, daß er der Verbindngs- rade lurcll diesen Punkt selbst
geraden AE auch noch projektivisch ent- hindurchgeht. Bei der Polarrezispricht: die beiden Figuren sind nicht prozität aber erscheint es als eine
projektivisch verwandt, sondern ganz fundamentale Beziehung, daß
nur ganz allgemein dual i s t i s c h auf- die Punkte bezw. Tangenten dei
gebaut, und es ist keinesfalls möglich IKernkurve eben die einzigen Eledieselbe direkt oder durchl Zwischen- imeite der Ebene sind, welche mit
gebilde in projektivisehe Lage zu bringen. ihren zugeordneten vereinigt
Noch melhr gilt dies vom Sechseck, liegen, so zwar, daß diese KernSechsseit oder von Figuren mit noch kurve zugleich nicht nur alle die
mehr willklirlichen Elementen. Punkte enthält, welche auf ihren