Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Polarität und Dualität. 45
Erkl. 84. Im Abschnitt 5 über die schiedener Hinsicht nur einen
Dualität im I. Teil dieses Lehrbuches s p e z i e 11 e n F a 11 derjenigen
ist auch der Dualität im Raum Dualität, welche ursprünglich als
[Reziprozität] zwischen Punkt und Grundsatz fir die Gegenüberstellung
Ebene gedacht. Dieselbe erhält ganz je zweier nebeneinanderstehenden
anologe Begrindung wie die Dualität in Durchführungen in der projektider Ebene durch die räumlic he vischen Geometrie gewählt wurde.
Polar enb ez iehun g inbezug auf die Dort war nämilich einem ersten beK u g e 1 bezw. die F iäc h e n zw e i ten stimmt gewählten Punkte eine ganz
Grades. Durch die mit den Sätzen beliebige Gerade gegenüberzu1-8 dieses Abschnittes fast gleich- stellen und umgekehrt, ebenso einem
lautenden Aussagen üibei räumliche Be- bestimmten zweiten Elemente eine
ziehungen wird jedem Punkte eine Ebene ganz b e i e i g e z e i t e usw.,
und jeder Ebene ein Punkt zunächst ganz allgemein einer Figur aus
inbezug auf die gewählte Fundamental- unbestimmt vielen Punkten eine
fläche zugleordnet. Und indem auch Figur aus ebensovielen beliebig
hier wieder der Sehritt von Poncelet zu auszuwählenden Geraden mit
Geirgonne wiederholt wird, erhä,lt man der einzigen Einschränkung, daß
den dualistischen Aufbaiu der iiriumlichen wenn von jenen beliebig auszuBetraclhtmgen von Anfang aln unter wählenden Punkten mehrere auf
Gegenübeiste lhng der Elemente Punkt derselben Geraden liegen, dann auch
nnd Ebene, wie solches in Erkl. 168 von diesen beliebig auszuwählenden
des I. Teil( angdcteutet ist. - Selbst- Geraden die entsprechenden durch
verständlicl. gelten die in nebenstehender einen Punkt gehen sollten. Hier
Antwort dargelegten Unt ers c h e i cdun T en aber wird einem bestimmt gezwischen dem allgemleinen Dualitits- wählten Punkte wieder eine einprinzip und der Polarentheorie zige bestimmte Gerade zugefür die r säu mli c h e n Durchfüilriiiugen ordnet und uimgekehrt, einem bein genau gleicher Weise wie für die liebigen zweiten Elemente ein einebene Geometrie. ziges bestimmtes zweites usw.,
Erkl. 85. Für die ebene (und ganz wobei nun allerdings auch ganz
analog auchl fiir die räumliche) Dualität von selbst die Bedingung erfüllt
wurdlen (lie Girundlagen nicht nur in der wird, claß we — mnehrere Punkte
reinen projektivis hen, sondern auchin auf einer Geraden liegen, dann die
der analytisch- geomtetrischen For- zugeordneten Geraden durch einen
mulierung aufgestellt, letzteres wohl zuerst Punkt gehen.
(und gleichzeitig mit Steiners geometrischen Entwicklungen) durch Ludwig 2) Wurde früiher in einer aus
Immalnuel Magnus. Die Überfhriiung der beliebig vielen Punkten und GeKoordinaten x, xs x3 eines Punktes zu raden gebildeten Figur (z. B. einem
den Koordinatel u1 11, u der dtualistisch vollständigen n-Eck) eine E igen -
zugeeolrdneteln Geraden geschieht dabei schaft gefunden, welche sich nur
durch Gleichlungen von der Form auf Anzahl und gegenseitige
oui = aix+ aii s 2x2 ai 3x3 Lage ihrer Elemente bezog, so
bezw. irückwärts fand sich für eine aus ebensoviel
(Xi -i Alii u A2iu2 + AsiUs. beliebigen Geraden und Punkten
Und solange diese Gleichungen ihre acht gebildete Figur (z. B. ein vollunabhängigen Koeffizienten behalten, ent- ständiges n-Seit) das Bestehen der
stehen zweierlei ausgezeichnete Kegel- entspreehenden Eigenseh aft,
sehnitte: der eine mit der Gleilchung7 obgleich die Elemente der letzteren
- Xaik Xi xk o als Ort der Pu n k t e Figur keineswegs als durch gesetzwelche auf der ihnen ent- miäßige Zuordnung zu den anderen