Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

42 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
jede der angeschriebenen projektivischen entspricht eine P un k t- K r v e
Verwandtschaften bestehen, sondern auch zweiter O r ldung, den einzelnen
für ti A S'i, t2 S'2, So t'o also Kurvenpunkten und Kurventangenüberhaupt für jedes der zu bildenden ten der einen die Kurventangenten
15 Paare von Gebilden, nämlich außer und Kurvenpunkte der andern, und
den neun bereits genannten auch für zwar sowohl im fertigen Kurvent t'o, tl S', 8 S'1, So S'2, t2 S'1, t2 t'o gebilde, als in jeder Zwischenstufe
Erkl. 79. Daß dem Erzeugnis zweier der Erzeugungsweise aus den proprojektivisch verwandten Punktreihen jektivischen Grundgebilden.
in schiefer Lage das Erzeugnis zweier en poetivisce..a5) Irgend welthen projektivischen
projektivisch verwandten StrahlenbüschelEigenschaften der Tangenten und
in schiefer Lage entsprechen muß, kann Punkte ein Klassenkurve entnicht nur abstrakt als Folgerung aus sprechen die olare Eigenschaften
dem bisherigen aufgestellt welden, sondern der te und Tangenten der zuauch am einzelnen Erzeugnis nachgewiesen ge ie Ordnungskurve, wobei
werden. Denn fir zwei Gebilde tl A t2 ee e
die projektivische Verwandtscha ft
lassen sich stets Zwischengebilde auf- ich nur bs^ zwischen den Gefinden, mittels deren durch eine Aufein- blden n de lassenkrve unter
bilden an der Klassenkurve unter
anderfolge von projektivischen Verwandt- zwischen jenen der
sich undt wieder zwischen jenen der
schaften in perspektivischer Lage die Ordnungskurve unter sich, sondern
Vermittlung von Element zu Element her- a zwiscen den Gebilden an der
gestellt wird, namlich t1 S to 7S 7t2.Klassenkurve einerseits und den
Nun entpricht einander polar nicht nur olaen Gebilden an der Ornunst, und S'~ t2 und S's sondern auch füi' t
t und, t2 und 2 sondern auh kurve andererseits. So stehen auch
jedes der Gebilde 1, to, 82 besteht de auf die lassenkurve sich
das polare Gebilde t' o t 2, so daß der stützenden Polaritätsbeziehungen
obigen Reihe von Gebilden eine neue ee ie af die Ordnungskurve
Reihe gegenübersteht
Reihe gegenü=bersteht sich stutzenden Polaritätsbeziehun7S', ~ t'~ /\ S'o 7 t'2 7W S'o
i, AT t - A T 0 tiAoA2 T 2A 2.0 gen gegenüber.
Und diese neue Reihe von Gebilden erzeugt eine Ordnungskurve in gleicher 6) Da jedem b e 1 i e b i g e n
Weise, wie die erste eine K lassen- Punkte der Ebene eine von ilh
kurve. getrennt laufende Gerade entErkl. 800 Wenn eine Figur ver- spricht, und nur den Kurvenpunkten
schiedene Punkte besitzt, die teils der Fundamentalkurve selber
außerhalb teils innerhalb der Funda- die eigene Tangente, also eine durch
mentalkurve liegen, und verschiedene ihren eigenen Pol hindurchgehende
Gerade, die die Fundamentalkurve Polare zugeordnet ist, so entspricht
teils treffen, teils nicht treffen, so muß auch jeder beliebigen Klassenauch die polar zugeordnete Figur G-e- kurve der Ebene eine getrennt
radle besitzen, welche die Fundamental- liegende Ordnungskurve, und
kurve treffen und nicht treffen, und die Fundam entalkurve selbst
Punkte, welche auißelrhalb und inner- ist die einzige Kurve zweiten
halb der Fulndamentallkurve liegen. Und Grades der Ebene, welche sich
dasselbe gilt nicht nur für polare Ab- selbst polar zugeordnet isto
bildungen von gradlinigen Figuren,
sondern auch für Kurven beliebiger Art. Bei den Kurven zweiten Grades wird
hierdurch die Lage zur Fundamentalkurve bestimmt; übier die Gattung der polar
zugeordneten Kurve (ob Ellipse, Hyperbel, Parabel) erhält man am besten Aufschluß durch das inächstfolgende Kapitel, in welchem die Mittelpunktseigenschaften
im engsten Zusammenhang mit den Beziehungen der Kurve zu ihren unendlich
ferncen Elementen behandelt werden. Für Kurven höheren Grades ergibt sich aus