Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Allgemeine Beziehungen zwischen Pol und Polare. 35
die Punkte AB ihren konjugierten RQ bezw. die Strahlen r, q ihren lkonjugierten a, b
entgegen, um in den Elementen Y bezw. y ibereinander wegzugehen. Bis dann der erstere
Punkt die Innenstrecke Y X von rechts nach links durchlaufen hat, bezw. der
Strahl den Winkelraum yx mit dem Uhrzeiger, überstreicht der konj ugierte
Punkt die Außenstrecke von Y über B, A ins Unendliche und von da zurück
tiber DC nach X, bezw. der konjugierte Strahl den Winkelraum yx von y
-iber q, r, k, 1 nach x, - und in den Elementen X bezw. x findet zum zweiten
Male Begegnung statt, indem die beiderlei konjugierten Elemente zusammenfallen.
Erkl. 66. Die links- bezw. rechtsseitig in voriger Antwort 21 ausgesprochenen
Sätze weisen mehrfach ganz identischen Inhalt auf - etwa wie wenn man im
Zahlenrechnen sagte einerseits 2. 3 =3. 2, andererseits 3. 2- 2. 3. Nur im
wörtlichen Ausdruclk bleibt dann die Verschiedenheit der Auffassung erkennbar, ob
man vom einen oder andern Gesichtspunkte ausgegangen ist. Daher ist auch die
Anzahl der vorigen Aussagen auf solchen Umfang beschränkt geblieben, daß eben
der Satz 8 als wichtigstes Ergebnis beiderseits als vollständig abgeleitet erscheint.
Weitere Beziehunglen derselben Art brauchen nicht doppelt ausgesplochen zu werden,
sondern nur durch Angabe der beiden entsprechenden Gebilde - einerlei ob man links
aussagt, das eine entspreche dem anderen, oder ob rechts erklärt wird, das andere
entspreche dem einen. Vergl. auch Antwort 23 u. ff.
Erkl. 67. Die in der Antwort 21 als vierte bezeichnete Aussage ist recht
eigentlich nur eine veränderte Ausdrucksweise des Satzes 7 selber. Denn man
kann die Ergebnisse fast ebenso auch äußerlich formell niederschreiben, wie dies
stattfindet bei dem metrischen Satze von der Gleichheit zweier Größen, die beide
de sAlben dritten gleich sind. Wie man z. B. die Sätze der Aufgabe 50 des
S. Teiles schriftlich formulieren konnte:
tl At2
tl A t3
t2 A t3, ebenso kann man nunmehr schreiben:
Punkt P polar zur Geraden p
Punkt Q polar zur Geraden q
Verbindungsgerade (PQ) polar zum Schnittpunkt (pq), denn man hat:
Gerade PQ geht durch P, folglich liegt deren Polpunkt auf p
Gerade PQ geht durch Q, folglich liegt deren Polpunkt auf q
Also ist der Schnittpunkt (pq) der Polpunkt zur Geraden (PQ);
oder umgekehrt: Schnittpunkt (p q) liegt auf p, folglich geht dessen Polare durch P
Schnittpunkt (pq) liegt auf q, folglich geht dessen Polare durch Q
Also ist die Verbindungerade (PQ) die Polare zum Punkt (pq).
Erkl. 68. In genau g Wleicher Weise kann die Ableitung schriftlich niedergelegt werden, wenn zu drei oder vier Punkten P, Q, R, U die Polaren p, q, r, n
gegeben sind. Dann werden polar zugeordnet die sechs Seiten des Vierecks
P Q RU, nämlich PQ, PR, PU, QR, QU, RU, und die sechs Ecken des Vierseits
p q ru, nämlich pq, pr, pu, qr, qu, ru, die drei Nebenecken des Vierecks,
nämlich die Schnittpunkte von je zwei Gegenseiten PQ, RU, von PR, QU, von
PU, QR, und die Nebenseiten des Vierseits, namlich die Verbindungsgeraden
von je zwei Gegenecken pq, ru, von plr, qu, von pu, qr. Und wie dann auf
der Verbindungsgeraden je zweier Nebenecklen des Vierecks vier harmonische
Punkte liegen, "weil sie zum Viereck solche Lage haben, daß usw. -, so