Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Aufgaben über involutorische Beziehungen ami vollständigen Viereck u. Vierseit. 299
geht jedesmal durch die Mittelpunkte der drei Kreisdurchmesser PQ,
RS, MN. Damit ist aber der Nachweis geliefert, daß die drei Diagon alenmittelpunkte des vollständigen Vierecks auf einer geraden Linie
liegen, und man kann den allgemeinen Satz aussprechen:
Satz. Die Halbkreise über den drei Diagonalstrecken eines vollständigen Vierseits gehören einem und demselben Kreisbüschel an,
und zwar von der ersten, zweiten oder dritten Gattung, jenachdem die
Kreise einander schneiden oder berühren oder nicht treffen.
Aufgabe 169. Aus den Sätzen 27 und 28 vom Viereck sollen
~Sätze fürs Dreieck abgeleitet werden.
Auflösung. 1) Wird etwa aus Auflösung. 1) Wird etwa aus Fig.
Figur 147 einzeln herausgehoben 149 einzeln herausgehoben das
das Dreieck S2 B3 B4, so werden Dreiseit t2b3b4, so werden seine,seine Seiten geschnitten von der Eckpunkte projiziert aus dem
Transversalen t 2 in den Punkten Scheitel St 2 durch die Strahlen at
A1B2C2, und seine Eckpunkte b2 ca, und seine Seiten werden von
werden aus dem Scheitel Sr proji- dem Träger t1 geschnitten in den
ziert durch die Projektionsstrahlen, Schnittpunkten, welche durch Verwelche durch Schnitt mit jener bindung mit jenem Scheitel in entTransversalen in entsprechender sprechender Reihenfolge die drei
Reihenfolge die 'drei Schnittpunkte Strahlen a2 b1c erzeugen. Da nun
A2 B1 C1 erzeugen. Da nun die invo- die involutorische Zuordnung unter
lutorische Zuordnung unter diesen diesen sechs Strahlen eine einsechs Schnittpunkten eine ein- deutige ist, so erhält man vordeutige ist, so erhält man vor- wärts und rückwärts geltende Sätze
wärts und rückwärts geltende Sätze über die Lage dieser Elemente,
über die Lage dieser Elemnente, nämlich:
nämlich:
Satz -. Werden die drei Eckpunkte
Satz a. Werden die drei Seiten eines Dreiecks aus einem Scheitel proeines Dreiecks durch eine Trans- jiziert, und auch die Schnittpunkte
versale geschnitten, und auch die seiner Seiten mit einer beliebigen
Projektionsstrahlen seiner Eck- Transversalen mit demselben Scheipunkte aus einem beliebigen telpunkt verbunden, so bilden die
Scheitel mit derselben Transversalen durch je zwei gegenüberliegende
zum Schnitt gebracht, so bilden die Dreieckselemente in dem Projekdurch je zwei gegenüberliegende tionsscheitel erzeugten ProjektionsDreieckselemente auf der Transver- strahlen die zugeordneten Strahlensalen erzeugten Schnittpunkte die paare einer Involution.
zugeordneten Punktpaare einer
Involution. 2) Als Umkehrung folgt aus der
involutorischen Lage der Strahlen
2) Als Umkehrung folgt aus der am Projektionsscheitel die entinvolutorischen Lage der Schnitt- sprechende Lage der Elemente zum
punkte auf der Transversalen die Dreieck an der Figur:
entsprechende Lage der Elemente
zum Dreieck an der Figur: Satz /?. Verbindet man die drei
Eckpunkte eines Dreiecks mit