Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

290 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
Erkl. 493. In nebenstehender Auf- werden,welcherbeidenKreisbüscheln
lösung ist angenommen, daß die beiden zugleich angehört. - Man wählt
Involutionen durch je zwei zugeordnete also einen beliebigen Punkt S als
Punktpaare gegeben sind. Tritt an die einen gemeinsamen Stützpunkt der
Stelle eines Punktpaares der Mittel- beiden Kreisbüschel, und legt durch
punkt der einen oder beider Reihen, so S und die Punktpaare der ersten
ist als zugehöriger Kreis der Strahl von Punktinvolution die Kreise des
ihm durch S zu betrachten: er enthält Biischels, dann gehen diese alle
auch die Berührungssehne SK, denn diese noch durch einen zweiten Punkt H,
muß auf dem Träger den Mittelpunkt und jeder Kreis durch S und H
der Reihe ausschneiden. Tritt an die schneidet t in zwei zugeordneten
Stelle eines Punktpaares der eine Ord- Punkten der ersten Involution.
nungspunkt der einen oder beider Legt man ferner Kreise durch S
Reihen, so ist als zugehöriger Kreis der- und die Punktpaare der zweiten
jenige Kreis durch S zu betrachten, Punktinvolution, so gehen diese alle
welcher den Träger im Ordnungspunkte noch durch einen zweiten Punkt K,
berührt. Ein Vergleich mit Figur 52II und jeder Kreis durch S und
zeigt, daß in diesem Falle die Punkte S K trifft t in zwei zugeordneten
und K stets auf derselben Seite von t Punkten der zweiten Involution.
liegen müssen. Man legt nun den Kreis durch die
Erkl. 494. Die letzte Bemerkung drei Punkte S, H, K. Wo dieser
den Triiger t trifft, müssen zwei
läßt erkennen, wann die drei neben- den ttrfft mssen zwe
stehend genannten Fälle eintreten: Sind zugeordnete Punkte sowohl der
beide Involutionen oder ist wenigstens ersten als der zweiten Involution
eine von ihnen eine elliptische, so geht sein nd je nachdem dieser Krei
t nach Figur 521 zwische n Trager beider Eeihen in zwei
Punkten oder in einem Punkte oder
bezwr. S und hi beidemnale oder wenig- in P k
stens einmal hindurch, der Kreis SKH in keinem Punkte trifft, haben die
beiden Involutionen ein gemieinmuß Punkte beiderseits t haben, er trifft bden o ein geme
also t sicher zweimal. Sind beide Invo- sames Punktpaar, oder einen gemeinlutionen hyperbolisch, so liegen, samen Ordnungsunkt, oder k ein
und H alle drei auf derselben Seit geeinsames Punkpaar.
von t, und nur in diesem Falle kann die
Berührung mit t überhaupt vorkommen. Dieser Beriihrungspunkt wäre jedenfalls
ein gemeinsamer Ordnungspunkt beider Reihen. Schneidet in diesem Fall der
Kreis den Träger t, so miüßte zwischen beiden Schnittpunkten noch von jeder
Reihe ein Ordnungspunkt liegen, und zwar so, daß die Paare der Ordnungspunkte
beider Reihen einander nicht trennen. Bilden die Ordnungspunkte ein getrenntes.
Punktpaar, so kann der Kreis den Träger nicht treffen. Man kann also den Satz
aussprechen: Zwei Involutionen auf demselben Träger besitzen stets ein
gemeinsames Elementenpaar, außer wenn sie in der Weise beide hyperbolisch sind, daß ihre Ordnungselemente zwei getrennte Elementenpaare bilden.
Aufgabe 151. Man soll untersuchen, ob zwei Strahleninvolutionen
mit gemeinsamem Scheitel ein gemeinsames Strahlenpaar besitzen.
Aufgabe 152. Die Aufgabe 150
für den Fall zu lösen, daß beide Auflösung. Man kann die AufPunktinvolutionen durch ihre Ord- lösung der Aufgabe 150 in der
nungsstrahlen gegeben sind. Weise wiederholen, daß man durch