Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

282 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
man sich auch mit dem Ergebnis be- Dann werden nach Figur 141 oder
gnügen und diese harmonische Beziehung 142 die weiteren Punktpaare geunmittelbar durch Konstruktion erzeugen. funden.
- In den Konstruktionen der Figur 143 3) Nach der echnenden Befallen die Figur 142 und die maßfallen die Figur 142 und die maß- handlungsweise setzt man den ungeometrische Konstruktion des vierten bekannten Abstand von M nach X
harmonischen Punktes zusammen. Denn ge A1 Ae a nnd den größeren
die Berührungssehne XK als Polare er- der beiden Abstände von X zu
zeugt den äußeren Punkt Y als Pol, einem der Punkte A als d, dann wird
bezw. umgekehrt erzeugt der äuße finnere s die Gleichung(d x)
Polpunkt (X) die Polare (YK), wie dies (d+x-a)=x2, für äußeres X
in der elementaren Behandlung der har- dagegen (d - x) (d x - a) x2
monischen Beziehung benützt wird. (8. Beidemale fällt x2 weg, und es
Satz 23 des VI. Teiles der Planimetrie.) kommt bloß mit Unterschied des
Erkl. 481. In Figur 143 sind für Vorzeichens x d-(a d) oder
die rechnende Durchführung beiderleid - a
d (d - a)
Annahmen dargestellt: für inneren Punkt x Damit sind gefunden
X mit Buchstaben ohne Klammern, für 2d -a
äußeren Punkt (X) mit Buchstaben in y und und (a - d)Uj
Klammern. Eine Vereinfachung gegen L 2d-a a
die frühere Aufgabe tritt dadurch ein, also auch zu jedem Punkt EL mit
daß sofort die Abstandsstrecke MX bezw. Abstand ME, der zugehörige
M(X) als Unbekannte eintritt, s daftß k(
keine Umrechnung nötig fällt für den2 im AbstandME
Potenzwert. Die Wahl der Vorzeichen
hängt hier allein von der Wahl der
Richtung ab, in welcher man den unbekannten Punkt M aufsuchen will. Denn
elliptische Involution mit imaginärem Potenzwert kommt hier bei gegebenem Ordnungspunkte nicht vor.
Aufgabe 141. Zu einem beliebig gegebenen Punkte den involutorisch
zugeordneten zu konstruieren, wenn die Involution als hyperbolische durch
ein Punktpaar und einen Ordnungspunkt gegeben ist.
Aufgabe 142. Man soll die maß- Auflösung. 1) Angenommen A,
geometrische und die rechnende A2 sei das gegebene Punktpaar
Lösung der Aufgabe 140 durch- und P der gegebene Potenzpunkt,
führen, wenn eine elliptische welcher in Figur 144 als innerer,
Punktinvolution durch ein Punkt- in Figur 145 als äußerer Punkt anpaar und einen Potenzpunkt genommen sei. Wenn dann M der
bestimmt ist. gesuchte Mittelpunkt der Involution
ist, so muß M A, ~ M A2s M P2 sein.
Erkl. 482. In Figur 144 und 145 Nun ist aber im Halbkreis_über A,
sieht man, daß für die Punkte A, A, MK2, folgmit M und P' jeweils die Gleichung be- lich P MK; das hierdurch
steht MI A1 ~ MA2 == M K2 M P2 gleichschenklig werdende Dreieck
M P'2 = MP M P' also hat man eine M PK hat aber bei P einen rechten
erste Involution miit Mittelpunkt M, Winkel, muß daher bei P einen
Potenzpunkten PP' und Punktpaar A, A,. solchen von 450 haben. Die Punkte