Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

Aufgaben iber die konjugierten Durchmesser der Kurven. 259
Aufgabe 105. Eine Kurve zu Auflösung. Der gegebene Mittelkonstruieren, von welcher gegeben punkt der Kurve verdoppelt die
sind der Mittelpunkt sowie ein Zahl der sonst gegebenen Elemente
Punkt Q nebst seiner Polaren q liefert also zu P bezw. T ein zweites
und ein weiteres Kurvenelement P bezw. T. Und das Paar Pol
P oder T. und Polare verdoppelt nochmals
durch die harmonische Beziehung
Erkl. 439. Daß bei vorstehender jedes Element P bezw. T. VerAufgabe zu der Gruppe Qq und deim bindet man endlich den Mittelpunkt
gegebenen M nur noch ein weiteres mit dem Polpunkt Q, so ist MQ
Kurvenelement gegeben sein darf, bildet ein Durchmesser und q die Richeine Anwendung der in Erklärutng 351 tung des konjugierten, und hieraus
gegebenen Ausführung. Denn der Punkt ergiebt sich eine dritte VerdoppeM als Pol der unendlich fernen Geraden lung des gegebenen letzten Kurvenbildet mit dieser zusammen ein zweites elementes. Man erhält also aus
Paar der Art Qq, doch aber nicht von dem einen gegebenen Element auf
der einfacheren Art, daß Q und Ic die drei Arten je ein neues, deren jedes
Ecken eines Polardreiecks bilden. Die wieder auf die beiden andern Arten
im nebenstehenden gefundene sechs- verdoppelt werden kann. UJnd so
fache Vermehrung des gegebenen finften können statt des einen gegebenen
Kurvenelements entspricht aber ganz Elementes P bezw. T sechs solcher
jenem allgemeinen Ergebnis. Polar- festgestellt werden.
dreiecke lassen sich zwei aufstellen,
nämlich ein erstes gebildet durch q mit
Q und dem Durchmesser und der Parallelen zu q durch Q, ein zweites gebildet
durch die unendlich ferne Gerade mit den beiden konjugierten Durlchnessern durch M.
Aufgabe 106. Eine Hyperbel zu konstruieren, von der gegeben
sind ein Pol nebst Polare sowie der Mittelpunkt und die eine Asymptote.
Aufgabe 107. Man soll eine
Kurve konstruieren, von welcher Auflösuing. 1) Angenommen in
gegeben sind ein Paar konju- Figur 131 bezw. 134 sei gegeben
gierter Durchmesser und zwei der Punkt A mit den konjugierten
weitere Kurvenelemente PP oder Durchmessernp und q. Dann liefert
(PT) oder TT. die centrische Symmetrie zum
Mittelpunkt den Punkt C und die
Erkl. 440. Durch zwei Durchmesser, schiefe Symmetrie zu den konsie seien konjugierte oder nicht, ist jugierten Durchmessern die
jedenfalls der Kurvenmittelpunkt Punkte B und D als Ecken des
bestimmt, also tritt die ccntrische Sym- Sehnenparallelogramms A B CD.
metrie der Kurven in Wirksamkeit, umi Ebenso liefert der zweite etwa gezu einem Punkt den diametral gegen- gebene Kurvenpunkt drei neue
iiberliegenden zu erzeugen, zu einer Tan- Punkte zu einem zweiten Sehnengente die im gleichen Abstand entgegen- parallelogramm, sodaß man statt der
gesetzt vom Mittelpunkt laufende Pa- gegebenen zwei Punkte nunmehr
ralleltangente. Dazu kommt hier noch acht Kurvenpunkte kennt.
die harmonische Beziehung für Pol und 2) Angenommen die Tangente a
Polare bezw. Durchmesser und Richtung sei gegeben mit den konjugierten
17.