Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

236 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
halb P die gezeichnete Ellipse durchsetzt, 4) Man erhält also die merkhat diesei Kurvenpunkt der Kernkurve miirdige Eigenschaft:
als Polare die eigene Tang'ente der
Kernkurve zugleich als Tangente der de m Satz. Von zwei Dreiecken,
Dreiseit pqr ein- und dem Dreiseit xyz welche derselben Kurve als
angeschriebenen Klassenkurve nahe bei Polardreiecke zugehören, liegen
Y bezw. bei R. Diese Klassenkurve die Eckpunkte als Kurvenkommt in der Gegend von Punkt P an punkte auf einer zweiten Kurve
die Kernklurve heran, und wo sie die zweiter Ordnung, und umhüllen
letztere iiberschreitet einwärts bezw. aus- die Seiten als Tangenten eine
warts, dort sind umgekehrt die Be- dritte Kurve zweiter Klasse,
rührungspunkte gemeinsamer Tangenten wobei die z weite und dritte Kurve
der Hyperbel und der Kernkurve. einander inbezug auf die erste
polar zugeordnet sind.
Erkl. 398, Will manl nebenstehenden
Satz anwenden auf die Polardreiecke
PQR und PEF der Figur 21 S. 58, so erhalt man wegen der zwei zusammenfallenden Eckpunkte P bezw. Seiten p auch keine gewöhnliche, sondern eine ausgeartete Kurve, indem eben P und p als Träger aller Punkte der Punktkurve
II. Ordnung und aller Strahlen des Strahlenbiisclels II. Klasse erscheinen.
Aufgabe 62. Aus der Lage der Elemente eines Polardreiecks sollen
Schlüsse gezogen werden auf die Lage der Kurven des vorigen Satzes.
Aufgabe 63. Man soll mittels des Auflösuing. Angenommen es seien
vorigen Ergebnisses eine Beziehung in Figur 126 p q r die Polaren zu
zwischen zwei polar zugeord- Fioiur 126.
neten Dreiecken aufstellen.
Erkl. 399. Die nebenstehende Unter- \
suchung ist doppelt gefiihrt, indem sowohl A ~
Punkt X als auch Gerade x gleichzeitig
zum Gegenstand der Erörterung gemacht
wird. Ebenso wie in der vorigen Auflösung der Aufgabe 61 wäre dies nicht
notwendig, vielmehr genügt der Beweis / /
für den einen der beiden Teile. Sowie
die erste Hälfte (für Punkt X) erwiesen ist, \ ~ 'c
folgt die zweite aus der Dualität, und '"(1 --—.
umgekehrt folgt aus der zweiten (für x)
dualistisch die erste. Ebenso ist aus der.. \
Dualität zu erkennen, daß Punkt X der \ P \
Pol von x und x Polare von X ist. Dies
ergibt auch die Figur, indem ja x die Punkte
(ap) und (bq) verbindet, wäilrend durch X \
die Geraden AP und BQ hindurchgehen. \
Über die Beziehungen der Kollinearität \t
vergl. man noch Erklärung 383 und Er- B
klärulng 106.