Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

232 Projektivische (nei1er3) Geometrie. 111. Teil.
Konstruktion nacli Brianchon acht aut r noch A als vierten harmoKurventangenten erhält, nämilich drei nisclhen Punkt zn P, Q, C. Damit
neue zum Vierseit mit k und drei neue sind alle sechs Eckpunkte, also
zum Vierseit mit 1. Und alle acht be- auch alle vier Seiten des Vierrühren die gesuchte Kurve. Aufgabe seits gefunden, und man kennt so51 ist auch bereits mit der anderen mit (50) die Kurventangenten DA,
Lösungsweise vorausgegangen in Auf- AB, BC, k-DC, sowie als fünfte
gabe 42. Tangente die gegebene Gerade 1,
Erkl. 390. Aus nebenstehender Auf- oder im zweiten Falle (51) die vier
lösung geht hervor, daß ein Polar- Kurventangenten DA, AB, BC, CD,
dreiseit stets drei Kurvenelemente sowie den Berührungspunkt K
ersetzen kann, nmlilich insbesondere auf der letztgenannten Tangente.
zu einer Kurventangente k drei weitere Aus diesen Stciken können aber
hinzufinden läßt. Daher kann dieser weitere Elemente der Kurve konUmstand auch Verwendung finden, wenn struiert werden auf Grund des
von einer Kurve gegeben sind vier Satzes von Brianchon miit gegebenen
Kurvnpunkte und 'eine außerhalb Stücken TTTTT oder TTT (TP).
laufende Tangente k. Denn die Und zwar wird besonders leicht die
vier Kurvenpunkte liefern nach Fig. 122 Vervollständigung im letzteren Falle
oder 124 das Polardreiseit pqr, und durch (TP), weil der gegebene
dieses liefert zu der gegebenen Tan- Kurvenpunkt K in Fig. 124 durch
gente k noch drei neue hinzu. Dadurch seine Verbindungsgerade mit den
kennt man von der gesuchten Kurve Eckpunkten des Polardreiecks die
vier Kurvenpunlkte und vier Tan- drei Schnittpunkte mit den Kurvengenten, womit allerdings endgiltige Kon- tangenten DA, AB, BC liefert, in
struktion nach Paskal oder Brianchon welchen diese Tangenten die Kurve
noch nicht ermöglicht ist. berühren.
Aufgabe 52. Eine Hiyperbel
zu konstruieren, von 'welcher ge- Auflösung. Die Aufgabe geht
geben sind ein Polardreieck und zurück auf Aufgabe 51, da die
eine Asymptote. Asymptote eine Tangente sanit unErkl. 391. Dieselbe Aufgabe ist als endlich fernemn Berührungspunkt
Aufgabe 45 nach der andern Methode Po bedeutet. Diese Tangente
gelöst. M)an erhlält also ebenso leicht liefert mit dem Polardreieck im
vier Tangenten nebst unendlich fernem ganzen vier Tangenten, und auf
Berührungspunkt auf einer derselben einer derselben kommt nun außeroder vier Kurvenpunkte nebst Tangente dem der unendlich fern liegende
durch einen unendlich fern liegenden Berührungspunkt P,. Dabei hat
derselben, sodaß aus den acht Elementen dieses Tangentenvierseit keinerlei
PPPTTT(P.T) die weitere Konstruk- Besonderheit aufzuweisen, wie das
tion je nach Bedarf nach Paskal oder Sehnenviereck in Aufgabe 45.
Brianchon vollzogen werden kann.
Aufgabe 53^ 54. Eine Parabel zu
konstruieren, von welcher gegeben Auflösung. Die Aufgabe 53 geht
sind ein Polardreieck und zurück auf Aufgabe 50. Dabei ist
aber zu unterscheiden, ob man die
(53) eine Tangente im Endlichen gegebene Tangente
zur Konstruktion des Tangenten(54) die Axenrichtung. vierecks verwenden will oder die