Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

206 Projektivische (ineiere) Geoometrie. III. Teil.
Erkl. 348. Ebensolche Erscheinungen Die Polare schneidet die Hyperbel
finden sich vereinigt in Figur 110b, d. zweimal, und auf derselben liegen
Dort ist p die Polare von P, p' Polare außer den vorgenannten sechs
von P' und r Polare von R. Die zur Punkten auch noch die BerührungsKonstruktion verwandten Sekanten tdurch punkte der Tangenten aus P. Endlich
P, nämillich AC ulnd BD, sowie jene 3) können beide Geraden e' und f'
durch R, iiiilinich AB und CD, haben des Punktes P' je beide Aeste der
die Eigentiümlichkeit, daß jede von Hyperbel treffen. Dann entsteht
ihnen beide Aeste trifft, also jeden einmal. wieder ein überschlagenes Viereck
Dagegen sind jene durch P', nämiilich ABC'D' der Figur 110d nur mit
AD und BC, Sekanten der Art, daß vertauschten Eckpunkten C D) und
jede von ilhnen denselben Ast zweimlal C'D' der Figur 1101b.
trifft, die eine den einen, die andere den
andern. Man erhält also füri R das
konvexe Viereock ACBD, ähnillich Fig'ur 7, aber miitganz anderer Lage der
Kurve, indem inäitlielh nur Segmente des Vierecks innerhalb, die ibrige Flchle
in Außenraum der Kurve liegt.
Aufgabe 7. Aus der vorigen Auflösungo I) 1) Eine Sekante
Aufgabe sollen die Angaben über der Hyperbel, welche denselben
die Lage von Pol und Polare zu Ast zweimal trifft, hat ihren Pol
den Kurvenästen der Hyperbel in dein Innenwinkelraum der Asympentnommen werden. toten, welcher an den geschnittenen
Ast angrenzt.
Erkl. 349. Die genaueren Angalben über 2) Eine Sekante der Hyperbel,
die gegenseitige Lage von Pol mnd welche beide Aeste trifft, hat
Polare bei der Hyperbel konnen gemacht ihren Pol in demjenigen Außenwerden auf GlGund d(es Satzes 7 und der winkelraum der Asymptoten, durch
Symmetrie-Eig'enschaften der Hyperbel in- welchen die Sekante nicht selbst
bezug auf Haupt- und NSebl axse welche hindurchgeht.
teils in den mletrischen Untersuchungen 3) Eine Gerade, welche die Hyim zweiteu Teile dieses Lehrblucles, perbel nicht trifft, hat ihren Pol
teils im Absclhitt 2id dieses Teils be- innerhalb desjenigen Hyperbelastes,
wiesen werden. Jede Grade der Ebene welcher mit der Geraden imr gleichen
muiß nämlich die Hiauptaxe der Hy1perbel Innenwinkelraum verläuft.
in irgend einem Punkte P treffen. Legt II) 1) Ein Punkt im Innenwinkelman1 durcih diesen Punkt P die Parallele raum der Asymptoten hat als Polare
b zur Nebnaxe und ui und v zu den eine Sekante des angrenzenden
Asymptotenl sowie die etwaigien Tan- Hyperbelastes.
genteln x und l dur cl P n die Hyperbel, 2)EinPunkt ineinemAußenwinkelso findet m an sehr leicht auf der Polare raum der Asymptoten hat als Polare
p jenes Punktes (Fig 111) die Pol- eine Sekante beider Aeste, welche
punlkte der (Gradenl a bi u v x, y uInd durch den andern Außenwinkelhat inun (,llne a ite res die F eststellng, raum hindurchgeht.
daß fiür Grade durch P in dien Winkeln 3) Ein Punkt innerhalb eines
(au), (lux), (xb), (by), (yv), (via) (ie Hyperbelastes hat als Polare eine
Polpunkte liegen:üiissen auf Ip in den Grade, welche zwischen den beiden
Strecken AU, UXN, N1, BY, Y'V, VA. Hyperbelästen durch den angrenzenden Innenwinkelraum hindurchgeht
ohne zu schneiden.
Erkl. 350. Umgekelat liegt jeder beliebige Punkt der Ebene auf irgend
einer Senkrechten p zur HIauptaxe der H1-yperbel und zwar auf irgend einer der