Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

14 Projektivische (neuere) Geometrie. III. Teil.
III der Geraden e, IV und VI nur
IIII IIIII von der Geraden f. Da aber zur
T-1V 11-1V 111W Festlegung der Geraden p nur zwei
IV IIV III IV V kann durch die Wahl einer ei nIVI IIVI IIIVI IVVI VVI zigen Geraden e durch P
-.- -. -....-= - mittels der Punkte III und V die
Unter den Punkten dieser Paare sind Polare schon sicher bestimmt
aber die nicht unterstrichenen I und II werden, und die in voriger Antwort
von e u n d von f abhängig, die einfach besprochenen sechs Punkte liegen
gestrichenen III und V n u r von e die stets auf derselb en Geraden p,
doppelt gestrichenen IV und VI nu r wie man auch durch den Punkt P
von f. Es sind also tatsächlich die die Gerade f, also wie man überPaare IIIV und IVVI die einzigen, haupt beide Geraden e und f
welche die Besti- von p drch wählen mag. Demnach ist tateine einzelne der Gertade e diund f schlich die Zuordnung von p zum
ermöglicheni. gegebenen P durch die Kurve
einzig abhängig von der Lage
des Punktes P zur Kurve, und
Erkl. 27. Auf Grund von Antwort n t n der e r durh P
nicht von der Lage der durch P
11 und Figur 7 hätte man noch ver-
muten können, daß jeweils eine andere gewählzeugn ng der Geerden p
zur ErzeugrIng der Geraden p
Gerade p entstände, wenn man die dienende e i n g e s c h r i e b e n e
Geraden e und f durch denselben Punkt Viereck besitzt keine wesentliche
P in verschiedener Lage wählte. Die
P i vesiedee Lage wählte Die Bedeutung, sondern bildet nur das
nebenstehende Überlegung zeigt nunmehr, ve r i ttende Ge bide zur
daß die Lage der Geraden p völlig un- Auffindung der Polaren p zum
abhängig von der Lage der beiden Punkte P
Geraden e und f ist; denn p bleibt dieselbe sowohl bei veränilderlichem f und
feststehendem e, als auch umgekehrt bei
veränderlichem e und feststehendem f.
Das Viereck ABCD verliert seine
selbständige Bedeutung und rückt auf
die Stufe eines vermittelnden Gebildes herab, wie z. B. tl St2 bei den
Konstruktionen S1 ~t1 So t t2 T2 im
II. Teile dieses Lehrbuches.
Frage 13. Welche wichtige Folgerung aus der Willkürlichkeit der
Lage von e und f durch P ergibt
sich für den Fall, daß der Punkt
Paußerhalb derKurveliegt? Antwort. Da die Lage der Geraden e und f durch P für die Bestimmung der Geraden p völlig
Erkl, 28. Während die Figur 7 für willkürlich ist, so muß unter
einen innerhalb derKurve liegen- anderm auch für jedebeliebige
den Punkt P gezeichnet war, gibt Fig. Gerade z durch P der vierte
8 (S. 17) die Darstellung für einen a u ße r- harmonische Punkt zu P und den
h a 1 b d e r K u r v e liegenden Punkt P. beiden auf der Geraden z liegenden