Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

170 I'roektivishle (lnuere) (elGeoetrie. lII. Teil.
eine beliebige Ger.u(ade q, so entsteht Lage, denn jedes Punktpaar in p
dadurch auf qs eine Piunktiiivolution liegt auf zwei zugeordnetenStrahlen
derselben Gattiung wie in P. Das ist aus P, und jedes Strahlenpaar von
aber eine andere Involutioni, als die auilf P geht durch zwei zugeordnete
der (G-eraden q durch die Kurve erzeugte Punkte auf p.
Punkti\nvolutioni der kolnjugierten Punkte
auf q - auIter weln q in (ie Polare
p von P fällt.
Frage 71l Was für besondere
Punktinvolu tionen erzeugen die Antwort. Die Unterscheidung der
einzelnen Kurvengattungenl verschiedenen Kurvengiattuingern beruht auf deren Beziehung
Erkl. 292. Man sieht ohne weiteres zur unendlich fernen Geraden,
ein, daß nicht etwa eine Ellipse bloß und auf dieser erzeugen sie verelliptische Involutionen erzeugt, eben so schiedenerlei charakteristische Inwenigi eine Hyperbel bloß hyperbolische volutionen.
usw. Vielmehr erzeugt eine bestimmte 1) Bei der E 1ll1i pse ist die unEllipse auf jeder sie slhneidenden endlich ferne Gerade eine nicht
Geraden einle hyperbolische Involution, schneidende Gerade, und daher
auf jeder berihrenden eine parabolische wird auf der unendlich fernen
und nur auf jeder außerhvalb laufenden Geraden diirch jedeEllipse der
Geraden eilne elliptische Involution. Auch Ebene eine Involution ohne
letztere Involutionen sind wieder von Ordnung lsp iunkte bestimmlt. Aus
einander verschieden je nach Lage der diesem Grunde nennt man überGeraden, und eine davon ist die von haupt eine Punktinvolution ohne
dieser Ellipse auf dei' ufnendlieh fernen Ordnungselement il te eine ellipti(Geaden erzeugte Involution, nach deren sehe Involution. Um zu einerm
Gattungl alle von dieser Art ilhen Namen beliebig gegebenen Punkt der unerhalten. Ebensolche verschiecene In- endlich fernenGeradedenenkonjugiervolutionen erzeugt ein Kreis: und nur ten Punkt in Bezug auf eine beauf der uniiiiendlileh fern en Geraden liebig gegebene Ellipse aufzusuchen,
allein existiert die von allen Kreisen konstruiert man etwa mittels
gleicherweise erzeugte sogenannte ab- zweier Paralleltangenten oder zweier
solute oder Kreisinvolution mit Parallelsekanten die Polare dieses
ihren fhr alle Kreise gemeinsamen, also Punktes, welche ein Durchinesser
festliegenden imaginären Doppelpunk- der Ellipse sein muß, und bringt
ten, während im allgemeinen jede ver- diesen wieder zum Schnitt t mider
sehiedene Ellipse auf der unendlich unendlich fernen Geraden. Der so
fernen Geraden aueh wieder eine andere erhaltene unendlich ferne Punkt ist
elliptische Involution miit v e rs c li e d e n e m der k onjugierte zum vorigen.
imag'inären Doppelpunkten erzeugt. 2) Ein Kreis erzeugt auf der
unendlich fernen Geraden ebenfalls
Erkl. 293. Auch jede Hyperbel eine elliptische Involution, da ja
erzeugt elliptische Punktinvolutionen auf der Kreis eine besondere Ellipse
allen niehlt schneidenden Geraden, d. lh. ist. Weil aber jeder Kreisdurchsolchen, welche zwischen den beiden messer auf der Tangente seiner
Ästen verlaufen, dagegen parabolische Kurvenpunkte senkrecht steht, so
auf jeder berihrenden, hyperbolische auf gehört hier zu eineam in beliebiger
jeder schneidenden Geraden, so auch auf der Richtung liegenden unendlich fernen