Lehrbuch der projektivischen (neueren) Geometrie (synthetische Geometrie, Geometrie der Lage).

158 lProjektivische (neuere) Geometrie. III. Tel.
Und der bereits in Antwort 63 und 65 Folglich sind auch projektivisch
zur Verwenduning gebrachte Sat,: 61 in entsprechend die Schnittpunkte
Erkl. 315 des ersten ''eiles lautet: Wenn dieser Strahlen mit der T' ranszwei Giruppern on je vier Elementen versale n, nämlich Bt C. Qi Q, A
zweier Gebilde projektivisch sind, so CI B. Q1 Q->. Nun bleibt aber die
bleibt die Projektivitätt aulcll dainn be- projektivische Zuordnung dieser
stehen, wenn in einer der Gruppen zwei Punkte aufrecht erhalten, wenn
beliebige Paare der Elemente mit eini- man aulh, in der einen dieser beiden
ander vertauscht werdeln. Punktg'ruppen das Paar Qi Q, und
zugleich das andere Punktpaar
Erkl. 277. So lange die projektivisehe vertauscht. Dadurch entsteht
Verwa\\ndtschaft der Elenmete in Fig. 76 BI C0, QI Q.2 / B C. C Q Q. Und
und 77 tiusgedriickt wird durch die (mit hierin liegt ausgesprochen, daiß
großen bezw. kleinen Bulstaben zu projektivisch zugeordnete Punktschreibende) Formel B11 C, Qi Q \ CI paare sind: zu BI Punkt B., zu C.2
B, Q, Q, hat die Bezielui ng keinen Punkt C1, zu Qt Punkt Q, und auch
bemerkenswerten Ilnalt, denn es ent- in derselben Verwandtschaft zu
spreehe:n siclb nicht die (Gegenelemente Q rückwär ts wieder Punkt Qi.
des Vierecks und auclh von den Elementen Hier sind also Qi Q- ein doppelt
Q ist jedes einfach sich selbst zugeordnet. entsprechendes Punktpaar und
Auch wirde in dieser Ve wandtschaft folglieh sind s c m t tliche P unktdem Strahl S S.2 bezw. dem Punkt (tl t2) paare doppelt entsprechende, und
die 'Tangente im andern Scheitel bezw. sie bilden eine Involution. Der
der Beruhviirungspiunkt des anderen Triägers von den Punktpaaren BI.2 C1 2 gezuzuordnen sein, also nicht A1 und A2, bildeten Punktinvolution gehören
Nach der Vertauschung der Ele- aber nachl Satz 27 auch die Punkte
mente der einen Gruppe aber sind zu- A. A, als zugeordnete Punkte an,
geolrdnet die Gegenelemente des folglich gesellt sich nun das PunktVierecks, daruniter auch A1 und A., und paar Q1 Q als vier t es (involutorisch
was die Hauptsache ist d- e zugeordlnetes) Paar den drei vorElemente Q1 entspriclt nicht wieder Q1 handenen Punktpaaren A1 2 BI 2 Ci 2
sondern Q9, und in gleicher Richtung noch hinzu.
entspricht dem Element Q-2 nicht wieder 2) Sind die vier Seitenlinien des
Q2. sondern Qi. IUnd dadurch lwerden Vierseits in Fig. 70 bis 74 zugleich
Q1 Q2 doppelt entspreclhende Ele- Kurvrentangenten einer Kurve
mente, liegen also involutorischl ge- zweiter Klasse, so hat inan ein der
p aart. Kurve uml- bezw. angeschriebenes Vierseit, und durch den
Erkl. 278. In der nebenstehenden Projektionsscheitel gehen außer
1eweisfiiührung treten die Elemente AI den Projektionsstrahlen nach den
A,2 a a erst nacehträig'lieh hinzu. Das Gegeneckenpaaren des Vierseits
riihrt bloß idahleraß daie Beweisfüilihrung auch zwei Tangenten an die
mit den Punkten Si S.2 bezw. den Kurve. Bezeichnet man alle Ele-.Krlvenetangenten t t durchglefiihrt ist. moente in Fig. 77 ganz wie in Fig. 70
Dasselbe trifft zu, wenn B, B4 bezw. bis 74, also auch die Seiten des
b: b4 gleicherweise benutzt werden. Vierseits iit tl t, bb bW und die
Wirde man aber als Biiscehelscheitel in neuen Kurventangenten aus S mit
Fig. 76 die Punkte S1 und Bl, oder S ql q9, so werden durch die vier
und B1, bezw. als Träger in Fig. 77 die Kurventangenten b5 b{l q1 q2 auf
Geraden tt unid b3 oder t., und b4 aus- t1 und t.2 jedenfalls zuge ordnete
wählen. so wüiirden die Elemente A und Punkte zweierprojektivisehenPunktC bezw. a und c im Beweis auftreten reihen tl und t, ausgeschnitten.